解説

方針・初手

（1） は積和公式

$$ \sin A\sin B=\frac12{\cos(A-B)-\cos(A+B)} $$

をそのまま用いる。

（2） は （1） の式を

$$ \begin{aligned} \sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{ \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} }{ 2\sin\frac{\alpha}{2n} } \end{aligned} $$

と変形して総和をとると，望遠鏡型になって簡単になる。

（3） は （2） の結果を $1/n$ 倍して極限をとればよい。

解法1

**(1)**

積和公式において

$$ A=\frac{\alpha}{2n},\qquad B=\frac{k\alpha}{n} $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} \sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac12\left\{ \cos\left(\frac{\alpha}{2n}-\frac{k\alpha}{n}\right) &= \\ \cos\left(\frac{\alpha}{2n}+\frac{k\alpha}{n}\right) \right\}. \end{aligned} $$

ここで，

$$ \begin{aligned} \frac{\alpha}{2n}-\frac{k\alpha}{n} &= -\frac{(2k-1)\alpha}{2n}, \qquad \frac{\alpha}{2n}+\frac{k\alpha}{n} &= \frac{(2k+1)\alpha}{2n} \end{aligned} $$

であり，$\cos(-\theta)=\cos\theta$ であるから，

$$ \begin{aligned} \sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac12\left( \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} \right) \end{aligned} $$

となる。

**(2)**

（1） より，

$$ \begin{aligned} \sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{ \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} }{ 2\sin\frac{\alpha}{2n} } \end{aligned} $$

である。したがって，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{1}{2\sin\frac{\alpha}{2n}} \sum_{k=1}^{n} \left( \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} \right). \end{aligned} $$

この和は望遠鏡型であり，中間の項が打ち消し合って

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{ \cos\frac{\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n} }{ 2\sin\frac{\alpha}{2n} } \end{aligned} $$

となる。

さらに，公式

$$ \cos x-\cos y=-2\sin\frac{x+y}{2}\sin\frac{x-y}{2} $$

を

$$ x=\frac{\alpha}{2n},\qquad y=\frac{(2n+1)\alpha}{2n} $$

に適用すると，

$$ \cos\frac{\alpha}{2n} - \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n} = 2\sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{ \sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2} }{ \sin\frac{\alpha}{2n} }. \end{aligned} $$

次に，$x=\dfrac{\alpha}{2n}$ とおくと $n\to\infty$ のとき $x\to0$ であり，

$$ \begin{aligned} n\sin\frac{\alpha}{2n} &= \frac{\alpha}{2}\cdot \frac{\sin\frac{\alpha}{2n}}{\frac{\alpha}{2n}} \longrightarrow \frac{\alpha}{2} \end{aligned} $$

となる。

**(3)**

（2） の結果を $1/n$ 倍すると，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{ \sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{(n+1)\alpha}{2n} }{ n\sin\frac{\alpha}{2n} }. \end{aligned} $$

ここで，

$$ \sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\longrightarrow \sin\frac{\alpha}{2}, \qquad n\sin\frac{\alpha}{2n}\longrightarrow \frac{\alpha}{2} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\frac{\alpha}{2}} \\ \frac{2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\alpha} \\ \frac{1-\cos\alpha}{\alpha}. \end{aligned} $$

解説

この問題の核心は，和

$$ \sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\alpha}{n} $$

を直接扱わず，（1） の積和公式で各項を余弦の差に直すことである。こうすると （2） の総和が望遠鏡型になり，中間項が次々に消える。

また （3） は，（2） で得た式と

$$ \lim_{n\to\infty}n\sin\frac{\alpha}{2n}=\frac{\alpha}{2} $$

を組み合わせればそのまま求まる。なお，

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac1\alpha\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha}{n}\sin\frac{k\alpha}{n} \end{aligned} $$

と見れば，これは $\int_0^\alpha \sin x,dx$ に対応するリーマン和でもある。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \sin\frac{\alpha}{2n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac12\left( \cos\frac{(2k-1)\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2k+1)\alpha}{2n} \right). \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{ \cos\frac{\alpha}{2n} &= \\ \cos\frac{(2n+1)\alpha}{2n} }{ 2\sin\frac{\alpha}{2n} } = \\ \frac{ \sin\frac{(n+1)\alpha}{2n}\sin\frac{\alpha}{2} }{ \sin\frac{\alpha}{2n} }. \end{aligned} $$

また，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\sin\frac{\alpha}{2n} &= \frac{\alpha}{2}. \end{aligned} $$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\sin\frac{k\alpha}{n} &= \frac{1-\cos\alpha}{\alpha}. \end{aligned} $$