解説

方針・初手

$\cos\theta$ を文字で置くと，定義域 $0\leqq \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}$ は $0\leqq x\leqq 1$ に対応し， $\sin\theta=\sqrt{1-x^2}$ と表せる。すると $f_n(\theta)$ は $x$ の関数として扱いやすくなり，微分によって最大値を求められる。

そのうえで，求まった $M_n$ を整理して極限 $\lim_{n\to\infty}(M_n)^n$ を調べる。

解法1

$x=\cos\theta$ とおくと，$0\leqq x\leqq 1$ であり，

$$ \sin\theta=\sqrt{1-x^2} $$

であるから，

$$ f_n(\theta)=(1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta =(1+x)(1-x^2)^{\frac{n-1}{2}} =(1+x)^{\frac{n+1}{2}}(1-x)^{\frac{n-1}{2}} $$

となる。

ここで

$$ F(x)=(1+x)^{\frac{n+1}{2}}(1-x)^{\frac{n-1}{2}} \qquad (0\leqq x\leqq 1) $$

とおく。

$F(x)>0$ であるから，微分すると

$$ \begin{aligned} F'(x) &=F(x)\left(\frac{n+1}{2(1+x)}-\frac{n-1}{2(1-x)}\right) \\ &=F(x)\cdot \frac{(n+1)(1-x)-(n-1)(1+x)}{2(1-x^2)} \\ &=F(x)\cdot \frac{2-2nx}{2(1-x^2)} \\ &=F(x)\cdot \frac{1-nx}{1-x^2}. \end{aligned} $$

$0\leqq x<1$ では $F(x)>0,\ 1-x^2>0$ であるから，$F'(x)$ の符号は $1-nx$ の符号で決まる。

したがって，

• $0\leqq x<\dfrac1n$ では $F'(x)>0$
• $x>\dfrac1n$ では $F'(x)<0$

である。よって $F(x)$ は $x=\dfrac1n$ で最大となる。

したがって $\cos\theta=\dfrac1n$ のとき最大値をとり，

$$ \begin{aligned} M_n &=F!\left(\frac1n\right) \\ &=\left(1+\frac1n\right)^{\frac{n+1}{2}} \left(1-\frac1n\right)^{\frac{n-1}{2}}. \end{aligned} $$

よって （1） の答えは

$$ M_n=\left(1+\frac1n\right)^{\frac{n+1}{2}} \left(1-\frac1n\right)^{\frac{n-1}{2}} $$

である。

次に （2） を求める。

まず $M_n^2$ を整理すると，

$$ \begin{aligned} M_n^2 &=\left(1+\frac1n\right)^{n+1}\left(1-\frac1n\right)^{n-1} \\ &=\left(1-\frac1{n^2}\right)^n \cdot \frac{1+\frac1n}{1-\frac1n} \\ &=\left(1-\frac1{n^2}\right)^n \cdot \frac{n+1}{n-1}. \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} (M_n)^n &=(M_n^2)^{\frac n2} \\ &=\left[\left(1-\frac1{n^2}\right)^{n^2} \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n\right]^{\frac12}. \end{aligned} $$

ここで，

$$ \left(1-\frac1{n^2}\right)^{n^2}\to e^{-1}, \qquad \left(\frac{n+1}{n-1}\right)^n =\frac{\left(1+\frac1n\right)^n}{\left(1-\frac1n\right)^n} \to \frac{e}{e^{-1}}=e^2 $$

であるから，

$$ (M_n)^n \to \left(e^{-1}\cdot e^2\right)^{\frac12} =e^{\frac12}. $$

よって

$$ \lim_{n\to\infty}(M_n)^n=\sqrt{e} $$

である。

解説

この問題の要点は，$\theta$ のまま扱うよりも $x=\cos\theta$ とおいて

$$ (1+\cos\theta)\sin^{n-1}\theta ; \longrightarrow ; (1+x)^{\frac{n+1}{2}}(1-x)^{\frac{n-1}{2}} $$

と変形することである。これにより，微分して増減を調べるだけで最大値が求まる。

また，極限では $M_n$ をそのまま眺めるよりも $M_n^2$ を作って指数を整理すると，$\left(1+\dfrac1n\right)^n\to e$ や $\left(1-\dfrac1n\right)^n\to e^{-1}$ という基本極限に直結する。式の整理が勝負の問題である。

答え

**(1)**

$$ M_n=\left(1+\frac1n\right)^{\frac{n+1}{2}} \left(1-\frac1n\right)^{\frac{n-1}{2}} $$

である。これは $\cos\theta=\dfrac1n$ のときに達する。

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}(M_n)^n=\sqrt{e} $$