解説

方針・初手

$x \to \dfrac{\pi}{2}$ のとき、分母は $0$ に近づき、分子も

$$ \sin(2\cos x)\to \sin 0=0 $$

となるので、$0/0$ 型の極限である。

したがって、$x=\dfrac{\pi}{2}$ のまわりで $\cos x$ を扱いやすい形に直すか、微分係数として見るのが自然である。

解法1

$h=x-\dfrac{\pi}{2}$ とおくと、$x\to \dfrac{\pi}{2}$ のとき $h\to 0$ であり、

$$ x=\frac{\pi}{2}+h $$

と書ける。

このとき

$$ \cos x=\cos\left(\frac{\pi}{2}+h\right)=-\sin h $$

であるから、与えられた極限は

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{\sin(2\cos x)}{x-\frac{\pi}{2}} &= \lim_{h\to 0}\frac{\sin(-2\sin h)}{h} \end{aligned} $$

となる。

さらに、

$$ \begin{aligned} \frac{\sin(-2\sin h)}{h} &= \frac{\sin(-2\sin h)}{-2\sin h}\cdot \frac{-2\sin h}{h} \end{aligned} $$

と変形する。

ここで $h\to 0$ のとき $-2\sin h\to 0$ だから、

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sin(-2\sin h)}{-2\sin h}=1 $$

また、

$$ \begin{aligned} \lim_{h\to 0}\frac{-2\sin h}{h} &= -2\lim_{h\to 0}\frac{\sin h}{h} \\ -2 \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2\cos x)}{x-\frac{\pi}{2}} &= 1\cdot (-2) \\ -2 \end{aligned} $$

となる。

解法2

$$ f(x)=\sin(2\cos x) $$

とおくと、$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\sin 0=0$ であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2\cos x)}{x-\frac{\pi}{2}} &= \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{f(x)-f\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\frac{\pi}{2}} \\ f'\left(\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned} $$

である。

$f(x)$ を微分すると、合成関数の微分により

$$ f'(x)=\cos(2\cos x)\cdot (-2\sin x) $$

となる。

よって、

$$ \begin{aligned} f'\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \cos\left(2\cos\frac{\pi}{2}\right)\cdot \left(-2\sin\frac{\pi}{2}\right) \\ \cos 0 \cdot (-2) \\ -2 \end{aligned} $$

したがって、求める極限は $-2$ である。

解説

この問題は $0/0$ 型の極限であり、$\sin t \sim t$ を使う典型問題である。

ただし、分子の中が $\sin(2\cos x)$ となっているので、そのままでは扱いにくい。$x=\dfrac{\pi}{2}+h$ とおいて $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}+h\right)=-\sin h$ と直すと、基本極限

$$ \lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1 $$

が使いやすくなる。

また、$\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}$ の形と見れば微分係数そのものであり、別解の方が短く処理できる。

答え

$$ -2 $$

したがって、⑤ は $-2$ である。