基礎問題集
数学3 極限「極限」の問題53 解説
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解説
方針・初手
$1+\dfrac{a+b}{n}+\dfrac{ab}{n^2}$ は因数分解できる。まず
$$ \begin{aligned} 1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2} &= \left(1+\frac{a}{n}\right)\left(1+\frac{b}{n}\right) \end{aligned} $$
と見るのが自然である。
解法1
与式の中を因数分解すると
$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}\right)^n &= \left(1+\frac{a}{n}\right)^n\left(1+\frac{b}{n}\right)^n \end{aligned} $$
である。
したがって、極限は
$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\log\left(1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}\right)^n &= \lim_{n\to\infty}\log\left\{\left(1+\frac{a}{n}\right)^n\left(1+\frac{b}{n}\right)^n\right\} \end{aligned} $$
となる。
ここで
$$ \left(1+\frac{a}{n}\right)^n\to e^a,\qquad \left(1+\frac{b}{n}\right)^n\to e^b $$
より、
$$ \left(1+\frac{a}{n}\right)^n\left(1+\frac{b}{n}\right)^n\to e^{a+b} $$
である。対数関数の連続性から
$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\log\left(1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2}\right)^n &= \log e^{a+b} \\ a+b \end{aligned} $$
となる。
解説
この問題の要点は、二次の項 $\dfrac{ab}{n^2}$ を見て
$$ \begin{aligned} 1+\frac{a+b}{n}+\frac{ab}{n^2} &= \left(1+\frac{a}{n}\right)\left(1+\frac{b}{n}\right) \end{aligned} $$
と気づくことである。すると、極限の基本公式
$$ \left(1+\frac{x}{n}\right)^n\to e^x $$
をそのまま使える形になる。
答え
$$ \boxed{a+b} $$