解説

方針・初手

底を $1$ に近い形に直し、よく知られた極限

$$ \lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^m=e^{-1} $$

を使う。

解法1

与式を

$$ \begin{aligned} \left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{3n-3} &= \left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{3n-3} \end{aligned} $$

と変形する。

ここで

$$ m=n+2 $$

とおくと、$n\to\infty$ のとき $m\to\infty$ であり、

$$ 3n-3=3(m-2)-3=3m-9 $$

だから、与式は

$$ \left(1-\frac{1}{m}\right)^{3m-9} $$

となる。

これを

$$ \begin{aligned} \left(1-\frac{1}{m}\right)^{3m-9} &= \left\{\left(1-\frac{1}{m}\right)^m\right\}^{\frac{3m-9}{m}} \end{aligned} $$

と書くと、

$$ \left(1-\frac{1}{m}\right)^m \to e^{-1}, \qquad \frac{3m-9}{m}\to 3 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{3m-9} &= \left(e^{-1}\right)^3 \\ e^{-3} \end{aligned} $$

となる。

解説

$(1+\frac{a}{n})^{bn}$ 型の極限は、$e$ を用いる極限に持ち込むのが基本である。

この問題では

$$ \frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2} $$

と直せることに気づけば、あとは標準形

$$ \left(1-\frac{1}{m}\right)^m $$

に合わせるだけである。指数 $3n-3$ がそのままでは扱いにくいので、$m=n+2$ とおいて整理するのが自然である。

答え

$$ e^{-3} $$

したがって、**エ** は

$$ e^{-3} $$

である。