解説

方針・初手

各三角形 $OP_{k-1}P_k$ は、頂点 $O$ の角がすべて $\dfrac{\pi}{n}$ であり、さらに頂点 $P_{k-1}$ の角も一定である。したがってこれらの三角形はすべて相似になる。

この相似から、半径 $OP_k$ は等比数列になり、辺 $P_{k-1}P_k$ も等比数列になる。あとは初項 $a_1=P_0P_1$ を余弦定理で求め、極限を計算すればよい。

解法1

$2\leqq k\leqq n$ に対して、三角形 $OP_{k-1}P_k$ と三角形 $OP_0P_1$ を比べる。

条件より

$$ \angle P_{k-1}OP_k=\angle P_0OP_1=\frac{\pi}{n}, \qquad \angle OP_{k-1}P_k=\angle OP_0P_1 $$

であるから、これらの三角形は相似である。

したがって、対応する辺の比より

$$ \frac{OP_k}{OP_{k-1}}=\frac{OP_1}{OP_0}=1+\frac{1}{n} $$

となる。よって $r=1+\dfrac{1}{n}$ とおけば、

$$ OP_k=r^k \qquad (0\leqq k\leqq n) $$

である。

さらに相似比から

$$ \frac{P_{k-1}P_k}{OP_{k-1}}=\frac{P_0P_1}{OP_0}=a_1 $$

である。$OP_0=1$ を用いた。したがって

$$ a_k=P_{k-1}P_k=a_1,OP_{k-1}=a_1r^{k-1} \qquad (1\leqq k\leqq n) $$

となる。

よって

$$ s_n=\sum_{k=1}^n a_k =a_1\sum_{k=1}^n r^{k-1} =a_1\cdot \frac{r^n-1}{r-1} =n,a_1\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right\} $$

を得る。

そこで $a_1$ を求める。三角形 $OP_0P_1$ に余弦定理を用いると、

$$ a_1^2 =OP_0^2+OP_1^2-2\cdot OP_0\cdot OP_1\cos\frac{\pi}{n} $$

すなわち

$$ a_1^2 =1+\left(1+\frac{1}{n}\right)^2-2\left(1+\frac{1}{n}\right)\cos\frac{\pi}{n}. $$

これを

$$ a_1^2 =\left(\frac{1}{n}\right)^2+2\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right) $$

と変形する。したがって

$$ (n a_1)^2 =1+2n^2\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right). $$

ここで

$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 $$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}n^2\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right) =\frac{\pi^2}{2}. $$

よって

$$ \lim_{n\to\infty}(n a_1)^2 =1+2\cdot \frac{\pi^2}{2} =1+\pi^2. $$

$a_1>0$ であるから

$$ \lim_{n\to\infty} n a_1=\sqrt{1+\pi^2}. $$

また、

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e $$

なので、

$$ \lim_{n\to\infty}s_n =\left(\lim_{n\to\infty}n a_1\right) \left(\lim_{n\to\infty}\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n-1\right\}\right) =\sqrt{1+\pi^2},(e-1). $$

解説

この問題の本質は、条件 (A) によって三角形 $OP_{k-1}P_k$ がすべて相似になることにある。その結果、$OP_k$ も $a_k$ も等比数列になり、和 $s_n$ を具体的に書ける。

一方で $a_1$ はそのままでは扱いにくいが、余弦定理で表してから $n a_1$ の極限に直すと、$\cos \dfrac{\pi}{n}$ の基本極限に帰着する。相似で等比数列を作ることと、最初の一辺を余弦定理で評価することがこの問題の要点である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty} s_n=\sqrt{1+\pi^2},(e-1) $$