解説

方針・初手

$\displaystyle \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ を2回用いるのが基本方針である。

この式は $\sin\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)$ という合成になっているので、途中で $\sin \dfrac{x}{\pi}$ と $\dfrac{x}{\pi}$ を挟んで分解する。

解法1

求める極限を

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{x} $$

とする。

ここで、分母 $x$ をそのまま扱うよりも、$\sin \dfrac{x}{\pi}$ と $\dfrac{x}{\pi}$ を使って分解すると

$$ \begin{aligned} \frac{\sin\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{x} &= \frac{\sin\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\sin \dfrac{x}{\pi}} \cdot \frac{\sin \dfrac{x}{\pi}}{\dfrac{x}{\pi}} \cdot \frac{1}{\pi} \end{aligned} $$

となる。

$x \to 0$ のとき

$$ \frac{x}{\pi} \to 0 $$

であるから、まず

$$ \sin \frac{x}{\pi} \to 0 $$

である。したがって

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{\sin \dfrac{x}{\pi}} = 1 $$

である。

また、

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin \dfrac{x}{\pi}}{\dfrac{x}{\pi}} = 1 $$

である。

よって、極限の積として

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(\sin \dfrac{x}{\pi}\right)}{x} &= 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{\pi} \\ \frac{1}{\pi} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$\sin(\sin \theta)$ のような合成関数でも、内側も外側も $0$ に近づくので

$$ \frac{\sin u}{u} \to 1 $$

を順に適用できることである。

直接見て迷う場合は、$\sin \dfrac{x}{\pi}$ と $\dfrac{x}{\pi}$ を間に入れて3つの因子に分ける形を機械的に作るとよい。

答え

$$ \frac{1}{\pi} $$