解説

方針・初手

外接する小円の中心は，すべて半径 $1+\dfrac{1}{n}$ の円周上に並ぶ。したがって，問題は

「半径 $1+\dfrac{1}{n}$ の円周上に，隣り合う点の距離が少なくとも $\dfrac{2}{n}$ となるように点をいくつ置けるか」

という問題に言い換えられる。

そこで，小円の中心どうしが作る中心角の最小値を求め，その角度で円周 $2\pi$ を割ればよい。

解法1

半径 $1$ の円の中心を $O$ とする。小円の半径は $\dfrac{1}{n}$ であるから，小円の中心はすべて半径

$$ 1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n} $$

の円周上にある。

いま，隣り合う2つの小円の中心を $P,Q$ とし，

$$ \angle POQ=\theta $$

とする。

このとき，三角形 $POQ$ は二等辺三角形であり，

$$ OP=OQ=\frac{n+1}{n} $$

であるから，弦の長さ $PQ$ は

$$ PQ=2\cdot \frac{n+1}{n}\sin\frac{\theta}{2} $$

である。

小円どうしが重なり合わないための条件は，中心間距離が少なくとも半径の和 $\dfrac{2}{n}$ 以上であることである。したがって

$$ 2\cdot \frac{n+1}{n}\sin\frac{\theta}{2}\ge \frac{2}{n} $$

すなわち

$$ \sin\frac{\theta}{2}\ge \frac{1}{n+1} $$

となる。よって

$$ \theta \ge 2\arcsin\frac{1}{n+1} $$

である。

ここで，半径 $1$ の円に外接する小円を $m$ 個置けたとする。中心を円周上に順に並べると，隣り合う中心角の和は $2\pi$ であり，各中心角は少なくとも $2\arcsin\dfrac{1}{n+1}$ だから，

$$ m\cdot 2\arcsin\frac{1}{n+1}\le 2\pi $$

となる。したがって

$$ m\le \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} $$

である。ゆえに

$$ a_n\le \left\lfloor \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} \right\rfloor $$

を得る。

逆に，

$$ m=\left\lfloor \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} \right\rfloor $$

とおき，小円の中心を半径 $\dfrac{n+1}{n}$ の円周上に等間隔に配置する。このとき隣り合う中心角は $\dfrac{2\pi}{m}$ である。

$m\le \dfrac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}}$ より

$$ \frac{2\pi}{m}\ge 2\arcsin\frac{1}{n+1} $$

であるから，隣り合う中心間距離は少なくとも $\dfrac{2}{n}$ となり，小円どうしは重ならない。したがってこの $m$ 個は実際に配置できる。

よって

$$ a_n=\left\lfloor \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} \right\rfloor $$

である。

あとは極限を求めればよい。$x\to 0$ のとき $\arcsin x\sim x$ を用いると，

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\cdot \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} &= \pi\cdot \frac{n+1}{n}\cdot \frac{\frac{1}{n+1}}{\arcsin\frac{1}{n+1}} \longrightarrow \pi \end{aligned} $$

となる。

また，床関数の性質より

$$ \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}}-1<a_n\le \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} $$

であるから，両辺を $n$ で割ると

$$ \frac{1}{n}\left(\frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}}-1\right) < \frac{a_n}{n} \le \frac{1}{n}\cdot \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} $$

となる。左右はいずれも $\pi$ に収束するので，はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\pi $$

である。

解説

円周上の配置問題なので，長さそのものを見るより「隣り合う中心角の最小値」を求めるのが本筋である。

大まかには，

$$ \frac{\text{外側の円周の長さ}}{\text{小円の直径}} \approx \frac{2\pi}{2/n} =\pi n $$

となるので，極限が $\pi$ になりそうだと見当がつく。ただし厳密には円周長だけでは足りず，中心角による評価で最大個数を確定させる必要がある。

答え

$$ a_n=\left\lfloor \frac{\pi}{\arcsin\frac{1}{n+1}} \right\rfloor, \qquad \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=\pi $$