解説

方針・初手

各回の積 $a_i b_i$ の偶奇に注目する。

和 $a_1b_1+\cdots+a_nb_n$ が偶数になるのは、「それまでの和の偶奇」と「$n$ 回目の積の偶奇」の組合せで決まる。したがって、まず $a_n b_n$ が偶数・奇数になる確率を求め、そこから $P_n$ と $P_{n-1}$ の関係式を作るのが自然である。

解法1

1回の試行で、積 $a_i b_i$ が奇数となるのは、$a_i,b_i$ がともに奇数のときに限る。

サイコロ1個の出目が奇数である確率は

$$ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

であるから、

$$ P(a_i b_i\text{ が奇数})=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4} $$

となる。したがって

$$ P(a_i b_i\text{ が偶数})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4} $$

である。

ここで、$a_1b_1+\cdots+a_{n-1}b_{n-1}$ が偶数である確率が $P_{n-1}$、奇数である確率が $1-P_{n-1}$ である。

$n$ 回目までの和が偶数となるのは、次の2通りである。

**(i)**

$(n-1)$ 回目までの和が偶数で、$a_n b_n$ が偶数

**(ii)**

$(n-1)$ 回目までの和が奇数で、$a_n b_n$ が奇数

よって、

$$ P_n=P_{n-1}\cdot\frac{3}{4}+(1-P_{n-1})\cdot\frac{1}{4} $$

すなわち

$$ P_n=\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4} $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に、この漸化式を解く。

定数解を調べると、$P_n=\alpha$ として

$$ \alpha=\frac{1}{2}\alpha+\frac{1}{4} $$

より

$$ \alpha=\frac{1}{2} $$

である。そこで

$$ Q_n=P_n-\frac{1}{2} $$

とおくと、

$$ Q_n=\frac{1}{2}Q_{n-1} $$

となる。

初項は、$n=1$ のとき

$$ P_1=\frac{3}{4} $$

であるから、

$$ Q_1=P_1-\frac{1}{2}=\frac{1}{4} $$

である。したがって

$$ Q_n=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{2^{n+1}} $$

となるので、

$$ P_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+1}} $$

を得る。

ゆえに

$$ \lim_{n\to\infty}P_n=\frac{1}{2} $$

である。

解説

この問題の本質は、積そのものではなく偶奇だけを見れば十分である点にある。

各回の $a_i b_i$ は、「奇数になる確率が $\frac14$、偶数になる確率が $\frac34$ の独立な偶奇変数」とみなせる。和の偶奇は、直前までの偶奇に最後の1項の偶奇を加えたときどう変わるかで決まるので、自然に一次漸化式が立つ。

漸化式を解くときは、定数解 $\frac12$ を引いて等比型に直すのが典型的である。

答え

**(1)**

$$ P_n=\frac{3}{4}P_{n-1}+\frac{1}{4}(1-P_{n-1}) =\frac{1}{2}P_{n-1}+\frac{1}{4} $$

**(2)**

$$ P_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{n+1}} $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}P_n=\frac{1}{2} $$