解説

方針・初手

$T$ は「初めて表が出た回数」を表すが、$n$ 回とも表が出ない場合にも $T=n$ と定められている。したがって、まず $T=n$ の場合だけは事象が2通りあることに注意して確率分布を求める。

期待値は、分布をそのまま用いて計算してもよいが、$P(T\ge k)$ を使うと簡潔に処理できる。

解法1

**(1)**

（ア） 確率分布を求める。

$k=1,2,\dots,n-1$ のとき、$T=k$ となるのは

• 第 $1$ 回から第 $k-1$ 回まで裏
• 第 $k$ 回に初めて表

であるから、

$$ P(T=k)=(1-p)^{k-1}p \qquad (k=1,2,\dots,n-1) $$

である。

次に $T=n$ となるのは、

• 第 $n$ 回目に初めて表が出る
• $n$ 回とも表が出ない

の2通りである。したがって、

$$ P(T=n)=(1-p)^{n-1}p+(1-p)^n=(1-p)^{n-1} $$

となる。

よって、$T$ の確率分布は

$$ P(T=k)= \begin{cases} (1-p)^{k-1}p & (k=1,2,\dots,n-1),\\ (1-p)^{n-1} & (k=n) \end{cases} $$

である。

（イ） 期待値 $E(T)$ を求める。

$T$ は $1,2,\dots,n$ の値をとるので、

$$ E(T)=\sum_{k=1}^n P(T\ge k) $$

と書ける。

ここで、$T\ge k$ となるのは「第 $1$ 回から第 $k-1$ 回まで表が出ない」ときであるから、

$$ P(T\ge k)=(1-p)^{k-1} $$

である。

したがって、

$$ E(T)=\sum_{k=1}^n (1-p)^{k-1} $$

これは初項 $1$、公比 $1-p$ の等比数列の和であるから、

$$ E(T)=\frac{1-(1-p)^n}{1-(1-p)} =\frac{1-(1-p)^n}{p} $$

となる。

よって、

$$ E(T)=\frac{1-(1-p)^n}{p} $$

である。

**(2)**

(1) の （イ） で得た式を

$$ f_n(p)=\frac{1-(1-p)^n}{p} $$

とおく。

このとき、

$$ \begin{aligned} f_n\left(\frac{1}{n}\right) &= \frac{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n}{\frac{1}{n}} \\ n\left\{1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right\} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}f_n\left(\frac{1}{n}\right) &= 1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

ここで、

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n=\frac{1}{e} $$

より、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}f_n\left(\frac{1}{n}\right) &= 1-\frac{1}{e} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、$T=n$ が単に「$n$ 回目に初めて表が出た」ときだけでなく、「$n$ 回とも表が出ない」ときも含むことである。ここを落とすと確率分布を誤る。

また、期待値は分布を直接用いて

$$ \sum_{k=1}^{n-1}k(1-p)^{k-1}p+n(1-p)^{n-1} $$

として計算してもよいが、$P(T\ge k)$ を使えば等比数列の和に直ちに帰着するため、計算が大幅に簡潔になる。

答え

**(1)**

**(ア)**

$$ P(T=k)= \begin{cases} (1-p)^{k-1}p & (k=1,2,\dots,n-1),\\ (1-p)^{n-1} & (k=n) \end{cases} $$

**(イ)**

$$ E(T)=\frac{1-(1-p)^n}{p} $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}f_n\left(\frac{1}{n}\right)=1-\frac{1}{e} $$