解説

方針・初手

連勝が出るまでは、各試合の勝者は必ず「前の試合に出ていなかった者」になる。したがって、連勝が起こるまでの勝者の並びは

$$ A,C,B,A,C,B,\dots \quad\text{または}\quad B,C,A,B,C,A,\dots $$

のように 3 人が循環するしかない。

この事実を使うと、**C が第 $3m$ 戦で優勝するための勝者列が一意に決まる**ので、その確率を直接求められる。

また、(2) では「いま C 以外の誰かが 1 勝している状態」と「いま C が 1 勝している状態」の 2 状態に分けて漸化式を立てるのが最短である。

解法1

(1) 第 $3m$ 戦で C が優勝する確率

C が第 $3m$ 戦で優勝するとは、$3m-1$ 戦目まで連勝者が出ておらず、$3m-1$ 戦目と $3m$ 戦目を C が連勝するということである。

連勝が出ない間の勝者列は循環するので、C が第 $3m$ 戦で優勝するための勝者列は

$$ A,C,B,A,C,B,\dots,A,C,C $$

または

$$ B,C,A,B,C,A,\dots,B,C,C $$

の 2 通りしかない。

ただし第 1 戦の勝者が A か B かは、それぞれ確率 $\frac12$ であり、これら 2 通りを合わせると第 1 戦に関する因子はちょうど 1 になる。

そこで、$m-1$ 回の循環部分に注目する。 例えば

$$ A \to C \to B \to A $$

という 3 試合分が起こる確率は

$$ p \cdot (1-p) \cdot \frac12 $$

である。実際、

• C が A に勝つ確率は $p$
• B が C に勝つ確率は $1-p$
• A が B に勝つ確率は $\frac12$

であるからである。

この循環が $m-1$ 回続いたあと、最後に

$$ A \to C \to C $$

または

$$ B \to C \to C $$

となればよい。最後の 2 試合で C が連勝する確率は $p^2$ である。

したがって、求める確率は

$$ P_m=p^2\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)^{m-1} =\frac{p^{m+1}(1-p)^{m-1}}{2^{m-1}} $$

である。

次に、これが最大となる $p$ を求める。$2^{m-1}$ は定数なので、

$$ f(p)=p^{m+1}(1-p)^{m-1} $$

を最大にすればよい。対数微分すると

$$ \frac{f'(p)}{f(p)} =\frac{m+1}{p}-\frac{m-1}{1-p} $$

であるから、

$$ f'(p)=0 \iff \frac{m+1}{p}=\frac{m-1}{1-p} $$

$$ \iff (m+1)(1-p)=(m-1)p $$

$$ \iff m+1=2mp $$

よって

$$ p=\frac{m+1}{2m} $$

である。

$m=1$ のときは $p=1$ となり、実際に

$$ P_1=p^2 $$

は $p=1$ で最大である。 $m\ge2$ でも $\frac{m+1}{2m}\in(0,1)$ であり、これが最大値を与える。

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(2) $N\to\infty$ のとき、A, B, C の優勝確率が同じになる $p$

A と B は完全に対称であるから、優勝確率が同じになるための条件は

$$ P(C\text{ が優勝})=\frac13 $$

である。

そこで、次の 2 つの状態を考える。

• 状態 $X$：A または B のどちらかが直前の試合に勝っており、次にその者と C が戦う状態
• 状態 $Y$：C が直前の試合に勝っており、次に C と A または B のどちらかが戦う状態

$N\to\infty$ なので、連勝者が出るまで続けるものとしてよい。

状態 $X$ から最終的に C が優勝する確率を $x$、状態 $Y$ からそれを $y$ とおく。

まず、状態 $X$ では、C が次の試合に勝たなければその時点で相手が連勝して優勝してしまう。したがって

$$ x=py $$

である。

次に、状態 $Y$ では、

• C が次の試合にも勝てば、その場で C が優勝する確率は $p$
• C が負ければ確率 $1-p$ で状態 $X$ に戻る

ので

$$ y=p+(1-p)x $$

である。

これを連立すると

$$ x=p{p+(1-p)x} $$

$$ x=p^2+p(1-p)x $$

$$ x{1-p(1-p)}=p^2 $$

したがって

$$ x=\frac{p^2}{1-p+p^2} $$

となる。

第 1 戦のあと、必ず「A または B のどちらかが 1 勝していて、次にその者と C が戦う状態」になるので、C の優勝確率はそのまま $x$ である。よって

$$ \frac{p^2}{1-p+p^2}=\frac13 $$

を解けばよい。

$$ 3p^2=1-p+p^2 $$

$$ 2p^2+p-1=0 $$

$$ (2p-1)(p+1)=0 $$

確率であるから $0\le p\le1$ より

$$ p=\frac12 $$

である。

このとき A, B, C の優勝確率はそれぞれ $\frac13$ になる。

解説

この問題の本質は、**連勝が出ない限り勝者列は 3 人で循環する**という点にある。

（1） ではその循環が何回続いたあとに C が連勝するかを見るだけでよいので、確率は積で一気に書ける。最大化も、結局は $p^{m+1}(1-p)^{m-1}$ の最大化に帰着する。

（2） では、試合の細かい並びを全部追うよりも、

• C 以外が 1 勝している状態
• C が 1 勝している状態

の 2 状態にまとめると非常に見通しがよい。A と B の対称性を先に使うことも重要である。

答え

**(1)**

第 $3m$ 戦で C が優勝する確率は

$$ p^2\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)^{m-1} =\frac{p^{m+1}(1-p)^{m-1}}{2^{m-1}} $$

である。

また、これが最大となるのは

$$ p=\frac{m+1}{2m} $$

である。

**(2)**

$N\to\infty$ のとき、A, B, C の優勝確率がすべて等しくなるのは

$$ p=\frac12 $$

である。