解説

方針・初手

（1） は、出る目の種類がちょうど $2$ 種類で、それぞれが $2$ 回ずつ出る場合を直接数えればよい。

（2） は、「少なくとも $(n-2)$ 個が同じ目」という条件を、出方の型ごとに分類して数える。 ただし $n=4$ のときだけは $2,2$ 型で対称性があるため、$n\geqq 5$ と分けて考えるのが自然である。

解法1

（1）

4 個のさいころが $a,a,b,b$ の形になる確率を求める。ここで $a,b$ は異なる目である。

まず、使う 2 種類の目の選び方は

$$ {}_{6}\mathrm{C}_{2}=15 $$

通りである。

次に、4 個のさいころのうち、どの 2 個に $a$ を出すかを決めれば、残り 2 個は自動的に $b$ になるので、その並べ方は

$$ {}_{4}\mathrm{C}_{2}=6 $$

通りである。

したがって、求める場合の数は

$$ 15\cdot 6=90 $$

通りであり、全事象は

$$ 6^4=1296 $$

通りであるから、確率は

$$ \frac{90}{1296}=\frac{5}{72} $$

となる。

（2）

（i） $n=4$ の場合

「少なくとも $2$ 個のさいころに同じ目がそろう」確率 $p_4$ を求める。

これは「4 個すべて異なる目が出る」場合の余事象である。

4 個すべて異なる目が出る場合の数は

$$ 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360 $$

であるから、

$$ p_4=1-\frac{360}{6^4} =1-\frac{360}{1296} =\frac{13}{18} $$

となる。

（ii） $n\geqq 5$ の場合

このとき、「少なくとも $(n-2)$ 個が同じ目」という出方は、次の 4 種類に限られる。

**(a)**

$n$ 個すべて同じ目が出る場合 目の選び方が 6 通りなので、

$$ 6 $$

通り。

（b） ちょうど $(n-1)$ 個が同じ目で、残り 1 個が異なる場合 そろう目の選び方が $6$ 通り、異なる 1 個の位置が $n$ 通り、その目が残り $5$ 通りなので、

$$ 6\cdot n\cdot 5=30n $$

通り。

（c） ちょうど $(n-2)$ 個が同じ目で、残り 2 個も互いに同じ目である場合 $n\geqq 5$ では、$(n-2)$ 個そろう側が一意に定まる。 したがって、そろう目の選び方が $6$ 通り、残り 2 個の目が $5$ 通り、その 2 個の位置の選び方が ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$ 通りであるから、

$$ 6\cdot 5\cdot {}_{n}\mathrm{C}_{2} $$

通り。

（d） ちょうど $(n-2)$ 個が同じ目で、残り 2 個が互いに異なる場合 そろう目の選び方が $6$ 通り、残り 2 個の位置の選び方が ${}_{n}\mathrm{C}_{2}$ 通り、残り 2 個の目の入れ方が $5\cdot 4$ 通りなので、

$$ 6\cdot {}_{n}\mathrm{C}_{2}\cdot 5\cdot 4 $$

通り。

以上より、$n\geqq 5$ では求める場合の数は

$$ 6+30n+6\cdot 5{}_{n}\mathrm{C}_{2}+6\cdot 5\cdot 4{}_{n}\mathrm{C}_{2} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{6+30n+30{}_{n}\mathrm{C}_{2}+120{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{6^n} \end{aligned} $$

となる。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} p_n &= \frac{6+30n+150{}_{n}\mathrm{C}_{2}}{6^n} \\ \frac{6+30n+75n(n-1)}{6^n} \\ \frac{75n^2-45n+6}{6^n} \qquad (n\geqq 5) \end{aligned} $$

である。

次に極限を求める。

$n\geqq 5$ ではこの式が使えるので、

$$ \begin{aligned} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{\dfrac{75(n+1)^2-45(n+1)+6}{6^{n+1}}}{\dfrac{75n^2-45n+6}{6^n}} \\ \frac{75(n+1)^2-45(n+1)+6}{6\left(75n^2-45n+6\right)} \end{aligned} $$

である。分子・分母の最高次の項に着目すると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{75}{6\cdot 75} \\ \frac{1}{6} \end{aligned} $$

となる。

解説

（1） は、目の選び方と並べ方を分けて数える典型問題である。

（2） の要点は、「少なくとも $(n-2)$ 個が同じ目」という条件を、そのまま一気に数えようとせず、出方の型に分けることである。 特に $n\geqq 5$ では、$(n-2)$ 個そろう目は一意に定まるため、重複を気にせず数えられる。一方、$n=4$ では $2,2$ 型が対称になるため、別に扱う必要がある。

また、最後の極限は $p_n$ の主要項が

$$ \frac{75n^2}{6^n} $$

であることを見れば、比が $\frac{1}{6}$ に近づくことが分かる。

答え

$$ \text{（1）}\quad \frac{5}{72} $$

$$ \text{（2）}\quad p_n= \begin{cases} \dfrac{13}{18} & (n=4),\\[1mm] \dfrac{75n^2-45n+6}{6^n} & (n\geqq 5) \end{cases} $$

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{p_{n+1}}{p_n}=\frac{1}{6} $$