解説

方針・初手

第1回戦が終わった直後の状態に注目する。

この時点では、AまたはBのどちらかが1勝しており、次はその勝者とCが対戦する。以後は

• その勝者がCにも勝てば、2連勝で優勝
• Cが勝てば、次はCともう一方のAまたはBが対戦する

という流れになる。

したがって、「直前の勝者がAまたはBで、次にCと対戦する状態」を基準状態として、その後の3試合の流れを整理すると、(2)(3)(4) はまとめて処理できる。

解法1

**(1)**

第4回戦で優勝者が決まるためには、第2回戦でも第3回戦でも優勝者が決まってはならない。

第1回戦はA対Bであるから、その勝者を仮にA、敗者をBとして考えると、第2回戦はA対Cである。

• 第2回戦でAが勝つと、Aが2連勝して第2回戦で終了する。
• よって第2回戦ではCが勝たねばならない。

このとき勝者列は

$$ A,\ C $$

となる。

次に第3回戦はC対Bである。

• 第3回戦でCが勝つと、Cが2連勝して第3回戦で終了する。
• よって第3回戦ではBが勝たねばならない。

したがって、ここまでの勝者列は

$$ A,\ C,\ B $$

となる。

第4回戦はB対Aであり、第4回戦で優勝者が決まるには、Bが再び勝って2連勝すればよい。したがって

$$ A C B B $$

が1つの列である。

同様に、第1回戦でBが勝った場合には

$$ B C A A $$

となる。

よって、第4回戦で優勝者が決まる場合の勝者列は

$$ ACBB,\quad BCAA $$

の2通りである。

**(2)**

第1回戦終了直後の状態を基準状態とする。すなわち、「AまたはBのどちらかが1勝しており、次はその勝者とCが対戦する状態」である。

この基準状態から見て、

• 次の1試合で優勝が決まる確率は、Cが負ける確率なので $1-p$
• 次の2試合で優勝が決まる確率は、Cが2連勝する確率なので $p^2$
• 次の3試合で優勝が決まる確率は、まずCが勝ち、次にCが負け、その次のA対Bで直前の勝者が勝つ確率だから

$$ p(1-p)\cdot \frac12 $$

である。

第1回戦は必ず行われるので、これをそのまま $F_2,F_3,F_4$ に対応させれば

$$ F_2=1-p,\qquad F_3=p^2,\qquad F_4=\frac{p(1-p)}{2} $$

である。

**(3)**

基準状態から3試合進んでも優勝者が決まらず、再び同じ基準状態に戻る場合を考える。

それは

• Cが第1試合に勝つ確率 $p$
• その次にCが負ける確率 $1-p$
• さらにその次のA対Bで直前の勝者が負ける確率 $\dfrac12$

を掛け合わせたものであるから、その確率は

$$ r=\frac{p(1-p)}{2} $$

である。

さて、第 $3n$ 回戦で優勝者が決まるためには、

• まず第1回戦後の基準状態から、優勝者が決まらない3試合の流れを $n-1$ 回繰り返し
• その次の基準状態から2試合で優勝者が決まる

ことが必要十分である。

後半2試合で優勝者が決まる確率は、上で求めたように $p^2$ である。したがって

$$ F_{3n}=r^{,n-1}p^2 =\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)^{n-1}p^2 \qquad (n\ge 2) $$

となる。

**(4)**

（3） より

$$ F_{3n}=p^2\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)^{n-1} \qquad (n\ge 1) $$

とみなせる。ここで

$$ 0<p<1 $$

より

$$ 0<\frac{p(1-p)}{2}<1 $$

であるから、等比級数の和を用いて

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}F_{3n} &= p^2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)^{n-1} \\ \frac{p^2}{1-\frac{p(1-p)}{2}} \end{aligned} $$

となる。整理して

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}F_{3n} &= \frac{2p^2}{2-p+p^2} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、各選手そのものを追うよりも、「直前の勝者がAまたはBで、次にCと戦う」という状態に注目することである。

この状態から先は、

• 1試合後に終わる
• 2試合後に終わる
• 3試合後に終わる
• 3試合後に同じ状態へ戻る

の4通りに分かれる。したがって、確率の計算が等比的な構造を持つことが見抜ける。

特に （3） では、個々の試合を長々と追うのではなく、「3試合で元の状態に戻る確率」を先に求めるのが決定的である。

答え

**(1)**

第4回戦で優勝者が決まる場合の勝者列は

$$ ACBB,\quad BCAA $$

である。

**(2)**

$$ F_2=1-p,\qquad F_3=p^2,\qquad F_4=\frac{p(1-p)}{2} $$

**(3)**

$$ F_{3n}=\left(\frac{p(1-p)}{2}\right)^{n-1}p^2 \qquad (n\ge 2) $$

**(4)**

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}F_{3n} &= \frac{2p^2}{2-p+p^2} \end{aligned} $$