解説

方針・初手

印のついた面の位置は、各操作の後に

• 上面
• 側面
• 底面

の3通りに分類できる。

この問題では、次にどこへ移るかは現在の位置だけで決まるので、まずこの3状態の遷移確率を整理するのが初手である。

印のついた面が側面にあるときは、底面の4辺のうち

• その面に接する辺を選べば底面へ移る
• 反対側の辺を選べば上面へ移る
• 残り2辺を選べば側面のままである

から、側面にある場合の遷移が鍵になる。

解法1

$n$回操作した後、印のついた面が

• 上面にある確率を $c_n$
• 側面にある確率を $a_n$
• 底面にある確率を $b_n$

とする。

初めは印のついた面が上面にあるから、1回倒すと必ず側面に移る。したがって

$$ a_1=1,\quad b_1=0,\quad c_1=0 $$

である。

状態遷移

**上面にある場合**

どの辺を軸にして倒しても、その面は必ず側面に移る。したがって

$$ \text{上面} \to \text{側面} \quad \text{確率 }1 $$

である。

**底面にある場合**

どの辺を軸にして倒しても、その面は必ず側面に移る。したがって

$$ \text{底面} \to \text{側面} \quad \text{確率 }1 $$

である。

**側面にある場合**

底面の4辺のうち、印のついた側面に接する辺は1本、その反対側の辺は1本、残りは2本であるから、

$$ \text{側面} \to \begin{cases} \text{上面} & \text{確率 } \dfrac14,\\ \text{側面} & \text{確率 } \dfrac12,\\ \text{底面} & \text{確率 } \dfrac14 \end{cases} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= c_n+b_n+\frac12 a_n,\\ b_{n+1} &= \frac14 a_n,\\ c_{n+1} &= \frac14 a_n \end{aligned} $$

を得る。

ここで $a_n+b_n+c_n=1$ より

$$ a_{n+1}=1-\frac12 a_n $$

である。これが （2） の関係式である。

（1） $a_2$ を求める

1回目の操作後は必ず側面にあるので、2回目の操作で側面にとどまる確率は $\dfrac12$ である。よって

$$ a_2=\frac12 $$

である。

（3） $b_n$ を求める

上で得た式より

$$ b_{n+1}=c_{n+1}=\frac14 a_n $$

であるから、$n\geq 1$ で

$$ b_n=c_n $$

が成り立つ。したがって

$$ a_n+2b_n=1 $$

より

$$ b_n=\frac{1-a_n}{2} $$

となる。

そこでまず $a_n$ を求める。

$$ a_{n+1}=1-\frac12 a_n $$

の定常値を $a$ とすると

$$ a=1-\frac12 a $$

より

$$ a=\frac23 $$

である。よって

$$ a_{n+1}-\frac23=-\frac12\left(a_n-\frac23\right) $$

となるから、$a_1=1$ を用いて

$$ a_n-\frac23=\left(-\frac12\right)^{n-1}\left(a_1-\frac23\right) =\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

したがって

$$ a_n=\frac23+\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

である。

これを $b_n=\dfrac{1-a_n}{2}$ に代入すると

$$ b_n =\frac12\left(1-\frac23-\frac13\left(-\frac12\right)^{n-1}\right) =\frac16-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

を得る。

よって

$$ \lim_{n\to\infty} b_n=\frac16 $$

である。

解説

この問題は、立方体の向きを直接追い続けるよりも、印のついた面の位置を「上面・側面・底面」の3状態に圧縮して考えるのが本質である。

特に重要なのは、印のついた面が側面にあるときの挙動である。4本の候補辺のうち、1本で底面、1本で上面、2本で側面のままになる。この整理ができれば、あとは確率漸化式に落ちる。

また、上面と底面は遷移のしかたが対称であるため、$n\geq 1$ では上面にある確率と底面にある確率が一致する。この対称性を使うと $b_n$ を簡単に表せる。

答え

**(1)**

$$ a_2=\frac12 $$

**(2)**

$$ a_{n+1}=1-\frac12 a_n $$

**(3)**

$$ b_n=\frac16-\frac16\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty} b_n=\frac16 $$