解説

方針・初手

箱Aに入っている赤玉の個数に注目する。

全体の赤玉の個数は常に2個で変わらないから、箱Aの赤玉個数は

$$ 0,\ 1,\ 2 $$

の3通りしかない。したがって、この3状態の確率遷移を考えればよい。

求めるのは、$n$回後に箱Aの赤玉個数が1である確率である。

解法1

$n$回の試行後に、箱Aに赤玉が1個入っている確率を $p_n$ とする。

初めは箱Aに赤玉1個、白玉3個入っているので、

$$ p_0=1 $$

である。

まず、箱Aの赤玉個数が1個である状態からの遷移を考える。

このとき箱Bにも赤玉1個、白玉3個入っている。したがって、1回の交換後も箱Aの赤玉個数が1個のままであるのは、両方とも赤玉を選ぶか、両方とも白玉を選ぶ場合であるから、

$$ P(1\to 1)=\frac14\cdot\frac14+\frac34\cdot\frac34=\frac{1}{16}+\frac{9}{16}=\frac58 $$

である。

次に、箱Aの赤玉個数が0個または2個である状態から、次の1回で赤玉個数が1個になる確率を考える。

（i） 箱Aの赤玉個数が0個のとき

このとき箱Aは白4個、箱Bは赤2個・白2個である。箱Aからは必ず白玉が出るので、箱Bから赤玉を選べば、交換後に箱Aの赤玉個数は1個になる。よって確率は

$$ \frac24=\frac12 $$

である。

（ii） 箱Aの赤玉個数が2個のとき

このとき箱Aは赤2個・白2個、箱Bは白4個である。箱Bからは必ず白玉が出るので、箱Aから赤玉を選べば、交換後に箱Aの赤玉個数は1個になる。よって確率はやはり

$$ \frac24=\frac12 $$

である。

したがって、$n$回後に箱Aの赤玉個数が1個でない確率は $1-p_n$ であり、その状態から次の1回で赤玉個数が1個になる確率はどちらの場合も $\frac12$ であるから、

$$ p_{n+1}=\frac58 p_n+\frac12(1-p_n) $$

となる。これを整理すると、

$$ p_{n+1}=\frac12+\frac18 p_n $$

である。

この漸化式の定常値を $p$ とすると、

$$ p=\frac12+\frac18 p $$

より

$$ \frac78 p=\frac12 $$

したがって、

$$ p=\frac47 $$

である。そこで、

$$ p_{n+1}-\frac47=\frac18\left(p_n-\frac47\right) $$

となるから、等比的に

$$ p_n-\frac47=\left(\frac18\right)^n\left(p_0-\frac47\right) $$

を得る。ここで $p_0=1$ なので、

$$ p_n-\frac47=\left(\frac18\right)^n\left(1-\frac47\right)=\left(\frac18\right)^n\frac37 $$

ゆえに、

$$ p_n=\frac47+\frac37\left(\frac18\right)^n $$

である。

解説

この問題では、玉の並び方そのものを追う必要はない。箱Aに赤玉が何個入っているかだけを見れば、状態は3通りに縮約できる。

さらに、赤玉個数が0個の状態と2個の状態は対称であり、どちらからも次の1回で赤玉個数1個になる確率が $\frac12$ で一致する。この対称性を使うと、3状態の問題を実質1本の漸化式に落とせる。

答え

$n$回繰り返した後、箱Aに赤玉が1個、白玉が3個入っている確率は

$$ \frac47+\frac37\left(\frac18\right)^n $$

である。