解説

方針・初手

時刻 $t=n+1$ に石が点 $A$ にあるのは、時刻 $t=n$ に点 $A$ にいてそのまま残る場合と、点 $B$ にいて点 $A$ に移る場合である。したがって、まず $p_{n+1}$ を $p_n$ で表す漸化式を立てる。

その後、定常値を引いて等比数列に帰着させれば $p_n$ を求められる。

解法1

時刻 $t=0$ では石は点 $A$ にあるから、

$$ p_0=1 $$

である。

（1） $p_1,\ p_2$ を求める

時刻 $t=1$ に石が点 $A$ にある確率は、初めに点 $A$ にいてそこにとどまる確率なので、

$$ p_1=c $$

である。

次に、時刻 $t=2$ に石が点 $A$ にあるのは、

• 時刻 $t=1$ に点 $A$ にいて、さらに点 $A$ にとどまる
• 時刻 $t=1$ に点 $B$ にいて、そこから点 $A$ に移る

のいずれかである。よって、

$$ p_2=cc+(1-c)(1-2c) $$

したがって、

$$ p_2=c^2+(1-c)(1-2c)=1-3c+3c^2 $$

である。

（2） $p_{n+1}$ を $p_n,\ c$ を用いて表す

時刻 $t=n$ に石が点 $A$ にある確率は $p_n$、点 $B$ にある確率は $1-p_n$ である。

したがって、時刻 $t=n+1$ に石が点 $A$ にある確率は

$$ p_{n+1}=cp_n+(1-2c)(1-p_n) $$

である。整理すると、

$$ p_{n+1}=(3c-1)p_n+1-2c $$

を得る。

（3） $p_n$ を求める

漸化式

$$ p_{n+1}=(3c-1)p_n+1-2c $$

の定常値を $\alpha$ とすると、

$$ \alpha=(3c-1)\alpha+1-2c $$

より、

$$ (2-3c)\alpha=1-2c $$

したがって、

$$ \alpha=\frac{1-2c}{2-3c} $$

である。

ここで

$$ q_n=p_n-\alpha $$

とおくと、

$$ q_{n+1}=p_{n+1}-\alpha $$

であり、漸化式に代入すると

$$ \begin{aligned} q_{n+1} &=(3c-1)p_n+1-2c-\alpha \\ &=(3c-1)p_n-{(3c-1)\alpha+1-2c-\alpha} \\ &=(3c-1)(p_n-\alpha) \\ &=(3c-1)q_n \end{aligned} $$

となる。ゆえに ${q_n}$ は等比数列である。

また、

$$ q_0=p_0-\alpha=1-\frac{1-2c}{2-3c}=\frac{c}{2-3c} $$

であるから、

$$ q_n=\frac{c}{2-3c}(3c-1)^n $$

したがって、

$$ p_n=\alpha+q_n=\frac{1-2c}{2-3c}+\frac{c}{2-3c}(3c-1)^n $$

よって、

$$ p_n=\frac{1-2c+c(3c-1)^n}{2-3c} $$

である。

（4） $\displaystyle \lim_{n\to\infty}p_n$ を求める

条件 $0<c<\dfrac12$ より、

$$ -1<3c-1<\frac12 $$

したがって、

$$ |3c-1|<1 $$

であるから、

$$ (3c-1)^n\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

となる。よって、

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac{1-2c}{2-3c} $$

である。

解説

この問題の本質は、各時刻での位置の確率が前の時刻の確率だけで決まることである。したがって、まず漸化式を立てるのが基本方針となる。

さらに、一次の漸化式

$$ p_{n+1}=ap_n+b $$

は、定常値を引くことで等比数列に直せる。この処理ができると一般項も極限も一度に処理できる。

答え

**(1)**

$$ p_1=c,\qquad p_2=1-3c+3c^2 $$

**(2)**

$$ p_{n+1}=cp_n+(1-2c)(1-p_n)=(3c-1)p_n+1-2c $$

**(3)**

$$ p_n=\frac{1-2c}{2-3c}+\frac{c}{2-3c}(3c-1)^n =\frac{1-2c+c(3c-1)^n}{2-3c} $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac{1-2c}{2-3c} $$