解説

方針・初手

$n$ 回振ったさいころの出た目の和を $S_n$ とする。

この問題では、和そのものではなく $S_n$ を $7$ で割った余りに着目するとよい。 1回さいころを振ると加わる数は $1,2,3,4,5,6$ のいずれかであり、これは $7$ を法として $0$ 以外の余りをちょうど1つずつ与える。

したがって、$S_n$ が $7$ の倍数であるかどうかで、$S_{n+1}$ が $7$ の倍数になる確率を簡潔に表せる。

解法1

$S_n$ を $n$ 回振ったときの和とする。 定義より、

$$ p_n=P(S_n\equiv 0 \pmod 7) $$

である。

**(1)**

$p_2$ を求める。

2個のさいころの和は $2$ から $12$ までであり、このうち $7$ の倍数は $7$ だけである。

和が $7$ になる組は

$$ (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) $$

の6通りである。全事象は $6^2=36$ 通りであるから、

$$ p_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6} $$

となる。

**(2)**

$p_3$ を求める。

3個のさいころの和は $3$ から $18$ までであり、このうち $7$ の倍数は $7,14$ である。

まず、和が $7$ となる場合の数を求める。 $x+y+z=7$ を満たす正の整数解の個数に等しいので、

$$ {}_{7-1}\mathrm{C}_{3-1}={}_{6}\mathrm{C}_{2}=15 $$

通りである。ここでは各変数は自然に $6$ 以下になるので、上限の制約は気にしなくてよい。

次に、和が $14$ となる場合を考える。 各出目を $x,y,z$ とすると、$u=7-x,\ v=7-y,\ w=7-z$ とおけば、$u,v,w$ も $1$ から $6$ の整数であり、

$$ u+v+w=(7-x)+(7-y)+(7-z)=21-14=7 $$

となる。したがって、和が $14$ となる場合の数も、和が $7$ となる場合の数と同じく $15$ 通りである。

よって有利な場合の数は

$$ 15+15=30 $$

通りであり、全事象は $6^3=216$ 通りだから、

$$ p_3=\frac{30}{216}=\frac{5}{36} $$

となる。

**(3)**

$p_{n+1}$ を $p_n$ の式で表す。

$S_n$ が $7$ の倍数である場合、そこにさらに $1,2,3,4,5,6$ のいずれかを足しても $7$ の倍数にはならない。 したがって、この場合に $S_{n+1}$ が $7$ の倍数になる確率は $0$ である。

一方、$S_n$ を $7$ で割った余りが $1,2,3,4,5,6$ のいずれかである場合、その余りを打ち消して $7$ の倍数にする出目はちょうど1つだけ存在する。 したがって、この場合に $S_{n+1}$ が $7$ の倍数になる確率は $\dfrac{1}{6}$ である。

以上より、

$$ p_{n+1}=p_n\cdot 0+(1-p_n)\cdot \frac{1}{6} $$

すなわち、

$$ p_{n+1}=\frac{1-p_n}{6} $$

を得る。

**(4)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} p_n$ を求める。

（3） の漸化式から、

$$ \begin{aligned} p_{n+1}-\frac{1}{7} &= \frac{1-p_n}{6}-\frac{1}{7} \\ -\frac{1}{6}\left(p_n-\frac{1}{7}\right) \end{aligned} $$

となる。

したがって、数列 $\left(p_n-\dfrac{1}{7}\right)$ は公比 $-\dfrac{1}{6}$ の等比数列である。よって、

$$ p_n-\frac{1}{7}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty} p_n=\frac{1}{7} $$

となる。

解説

この問題の本質は、和そのものではなく「$7$ で割った余り」を追うことである。

特に （3） が重要で、$S_n$ がすでに $7$ の倍数なら次では絶対に $7$ の倍数にならず、$S_n$ が $7$ の倍数でないなら次で $7$ の倍数になる目はちょうど1つしかない。この観察だけで漸化式が出る。

（4） では、極限値を直接予想するだけでは不十分である。 $\dfrac{1}{7}$ を引いて等比数列に直すことで、きちんと収束を示せる。

答え

**(1)**

$$ p_2=\frac{1}{6} $$

**(2)**

$$ p_3=\frac{5}{36} $$

**(3)**

$$ p_{n+1}=\frac{1-p_n}{6} $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty} p_n=\frac{1}{7} $$