解説

方針・初手

箱 $A$ に入っている白札の枚数に注目する。

全体の白札は常に $2$ 枚なので、箱 $A$ の白札の枚数は $0,1,2$ のいずれかである。操作 $S$ を1回行ったとき、それぞれの状態が次にどう移るかを整理すれば、$p_n$ の漸化式が立てられる。

解法1

箱 $A$ の白札の枚数を状態として考える。

状態が $1$ のとき

このとき、箱 $A,B$ はともに白札1枚・赤札1枚をもつ。

各箱から1枚ずつ取り出すので、取り出し方は次の4通りである。

• 箱 $A$ から白、箱 $B$ から白
• 箱 $A$ から白、箱 $B$ から赤
• 箱 $A$ から赤、箱 $B$ から白
• 箱 $A$ から赤、箱 $B$ から赤

それぞれの確率はすべて $\dfrac14$ である。

このとき交換後の箱 $A$ の白札枚数は、

• 白と白を交換すると $1$
• 白と赤を交換すると $0$
• 赤と白を交換すると $2$
• 赤と赤を交換すると $1$

となる。したがって、状態 $1$ から次に状態 $1$ へ移る確率は

$$ \frac14+\frac14=\frac12 $$

である。

状態が $0$ または $2$ のとき

（i） 箱 $A$ の白札枚数が $0$ のとき

箱 $A$ は赤2枚、箱 $B$ は白2枚である。したがって、箱 $A$ からは必ず赤、箱 $B$ からは必ず白が取り出される。これを交換すると、箱 $A$ は白1枚・赤1枚となる。

よって、次は必ず状態 $1$ になる。

（ii） 箱 $A$ の白札枚数が $2$ のとき

同様に、次は必ず状態 $1$ になる。

漸化式

$n$ 回後に箱 $A$ の白札枚数が $1$ である確率を $p_n$ とする。

$n$ 回後に状態 $1$ である確率は $p_n$、状態 $0$ または $2$ である確率は $1-p_n$ であるから、$n+1$ 回後に状態 $1$ である確率は

$$ p_{n+1}=\frac12 p_n+1\cdot(1-p_n) $$

となる。これを整理して

$$ p_{n+1}=1-\frac12 p_n $$

を得る。

（1） $p_1$ を求める

初めは箱 $A$ の白札枚数は $1$ であるから、上で求めた状態 $1$ からの遷移を用いれば

$$ p_1=\frac12 $$

である。

（2） 漸化式

したがって、

$$ p_{n+1}=1-\frac12 p_n $$

である。

（3） $\lim_{n\to\infty}p_n$ を求める

極限が存在してその値を $L$ とすると、漸化式の両辺の極限をとって

$$ L=1-\frac12 L $$

となる。これを解けば

$$ \frac32 L=1 $$

より

$$ L=\frac23 $$

である。

実際、上の漸化式は定数係数の一次漸化式であり、極限はこの値に収束する。

解説

この問題の本質は、箱 $A$ の中身そのものを細かく追うのではなく、「箱 $A$ の白札枚数」という状態だけを見ることである。

状態は $0,1,2$ の3通りしかなく、しかも $0$ と $2$ からは次に必ず $1$ に戻る。したがって、$p_n$ だけで閉じた簡単な漸化式が立つ。

特に、状態 $1$ のときだけ場合分けが必要であり、そこでは「同色同士を交換すれば状態 $1$ のまま、異色同士を交換すれば $0$ または $2$ に移る」と整理すると見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac12 $$

**(2)**

$$ p_{n+1}=1-\frac12 p_n $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac23 $$