解説

方針・初手

1回の操作で重要なのは、3回の取り出しの順序ではなく「赤球が何回出たか」である。

$n$ 回操作後の赤球の個数を $X_n$ とすると、$X_n=k$ のとき次の操作後の赤球の個数 $X_{n+1}$ は

$$ X_{n+1}\sim \mathrm{Bin}\left(3,\frac{k}{3}\right) $$

に従う。したがって、赤球の個数 $0,1,2,3$ の間の遷移を調べればよい。

解法1

初期状態は赤球1個、白球2個であるから

$$ X_0=1 $$

であり、

$$ p_0=1,\quad q_0=0,\quad r_0=0 $$

である。

まず、各状態からの遷移確率を求める。

赤球が1個入っているとき、1回の取り出しで赤球が出る確率は $\frac13$ であるから、

$$ X_{n+1}\mid X_n=1 \sim \mathrm{Bin}\left(3,\frac13\right) $$

より

$$ \begin{aligned} P(X_{n+1}=0\mid X_n=1)&=\left(\frac23\right)^3=\frac{8}{27},\\ P(X_{n+1}=1\mid X_n=1)&={}_{3}\mathrm{C}_{1}\frac13\left(\frac23\right)^2=\frac49,\\ P(X_{n+1}=2\mid X_n=1)&={}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac13\right)^2\frac23=\frac29,\\ P(X_{n+1}=3\mid X_n=1)&=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27}. \end{aligned} $$

同様に、赤球が2個入っているときは

$$ X_{n+1}\mid X_n=2 \sim \mathrm{Bin}\left(3,\frac23\right) $$

より

$$ \begin{aligned} P(X_{n+1}=0\mid X_n=2)&=\left(\frac13\right)^3=\frac1{27},\\ P(X_{n+1}=1\mid X_n=2)&={}_{3}\mathrm{C}_{1}\frac23\left(\frac13\right)^2=\frac29,\\ P(X_{n+1}=2\mid X_n=2)&={}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac23\right)^2\frac13=\frac49,\\ P(X_{n+1}=3\mid X_n=2)&=\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}. \end{aligned} $$

また、赤球が3個なら次も必ず3個、赤球が0個なら次も必ず0個である。

（1） $p_{n+1},q_{n+1}$ を求める

赤球1個の状態に移るのは、前の状態が1個または2個のときだけであるから、

$$ p_{n+1}=\frac49 p_n+\frac29 q_n $$

である。

同様に、赤球2個の状態に移るのも前の状態が1個または2個のときだけであるから、

$$ q_{n+1}=\frac29 p_n+\frac49 q_n $$

となる。

（2） $p_n+q_n$ を求める

上の2式を加えると

$$ p_{n+1}+q_{n+1} =\left(\frac49+\frac29\right)(p_n+q_n) =\frac23(p_n+q_n) $$

となる。

初期値は

$$ p_0+q_0=1 $$

であるから、等比数列として

$$ p_n+q_n=\left(\frac23\right)^n $$

を得る。

（3） $r_n$ および $\displaystyle \lim_{n\to\infty}r_n$ を求める

まず、上の2式の差をとると

$$ p_{n+1}-q_{n+1} =\left(\frac49-\frac29\right)p_n+\left(\frac29-\frac49\right)q_n =\frac29(p_n-q_n) $$

となる。

初期値は

$$ p_0-q_0=1 $$

であるから、

$$ p_n-q_n=\left(\frac29\right)^n $$

である。

したがって、和と差から

$$ p_n=\frac12\left\{\left(\frac23\right)^n+\left(\frac29\right)^n\right\}, \qquad q_n=\frac12\left\{\left(\frac23\right)^n-\left(\frac29\right)^n\right\} $$

と求まる。

次に、赤球3個の状態に移る確率を考える。前の状態が1個なら確率 $\frac1{27}$、2個なら確率 $\frac8{27}$、3個なら確率1であるから、

$$ r_{n+1} =r_n+\frac1{27}p_n+\frac8{27}q_n $$

である。

よって

$$ r_{n+1}-r_n=\frac1{27}p_n+\frac8{27}q_n $$

に上の $p_n,q_n$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} r_{n+1}-r_n &=\frac1{27}\cdot \frac12\left\{\left(\frac23\right)^n+\left(\frac29\right)^n\right\} +\frac8{27}\cdot \frac12\left\{\left(\frac23\right)^n-\left(\frac29\right)^n\right\}\\ &=\frac1{54}\left\{9\left(\frac23\right)^n-7\left(\frac29\right)^n\right\}\\ &=\frac16\left(\frac23\right)^n-\frac7{54}\left(\frac29\right)^n. \end{aligned} $$

ここで $r_0=0$ であるから、

$$ \begin{aligned} r_n &=\sum_{k=0}^{n-1}(r_{k+1}-r_k)\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\left\{\frac16\left(\frac23\right)^k-\frac7{54}\left(\frac29\right)^k\right\}\\ &=\frac16\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac23\right)^k-\frac7{54}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac29\right)^k. \end{aligned} $$

等比数列の和を用いれば、

$$ \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac23\right)^k =3\left\{1-\left(\frac23\right)^n\right\}, \qquad \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac29\right)^k =\frac97\left\{1-\left(\frac29\right)^n\right\} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} r_n &=\frac16\cdot 3\left\{1-\left(\frac23\right)^n\right\} -\frac7{54}\cdot \frac97\left\{1-\left(\frac29\right)^n\right\}\\ &=\frac12\left\{1-\left(\frac23\right)^n\right\} -\frac16\left\{1-\left(\frac29\right)^n\right\}\\ &=\frac13-\frac12\left(\frac23\right)^n+\frac16\left(\frac29\right)^n. \end{aligned} $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}r_n=\frac13 $$

である。

解説

この問題では、1回の操作の結果は「3回の取り出しで赤球が何回出たか」によって決まるので、各状態からの遷移は二項分布で処理できる。

また、$p_n,q_n$ についてはそのまま連立漸化式を解くよりも、

$$ p_n+q_n,\qquad p_n-q_n $$

を考えるとそれぞれ等比数列になり、計算が大きく簡単になる。これがこの問題の要点である。

答え

**(1)**

$$ p_{n+1}=\frac49 p_n+\frac29 q_n, \qquad q_{n+1}=\frac29 p_n+\frac49 q_n $$

**(2)**

$$ p_n+q_n=\left(\frac23\right)^n $$

**(3)**

$$ r_n=\frac13-\frac12\left(\frac23\right)^n+\frac16\left(\frac29\right)^n $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}r_n=\frac13 $$