解説

方針・初手

各回で加える数は，白玉なら $1$，赤玉なら $2$ である。ここで $2$ は偶数なので，$S_n$ の偶奇を変えるのは白玉が出たときだけである。

したがって，$S_n$ が偶数であることは，「$n$ 回のうち白玉が出た回数が偶数回であること」と同値である。この偶奇の移り変わりに注目して考える。

解法1

まず，白玉が出る確率は $\dfrac13$，赤玉が出る確率は $\dfrac23$ である。

（1） $p_1,p_2,p_3$ を求める

$S_1$ が偶数であるためには，1回目に赤玉が出ればよい。よって

$$ p_1=\frac23 $$

次に，$S_2$ が偶数であるのは，白玉の出た回数が $0$ 回または $2$ 回のときである。したがって

$$ p_2=\left(\frac23\right)^2+\left(\frac13\right)^2=\frac49+\frac19=\frac59 $$

同様に，$S_3$ が偶数であるのは，白玉の出た回数が $0$ 回または $2$ 回のときであるから

$$ p_3=\left(\frac23\right)^3+{}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right) =\frac{8}{27}+\frac{6}{27} =\frac{14}{27} $$

（2） $p_{n+1}$ を $p_n$ を用いて表す

$n$ 回後に $S_n$ が偶数である確率が $p_n$ である。

$S_{n+1}$ が偶数になるのは，次の2通りである。

• $S_n$ が偶数で，$(n+1)$ 回目に赤玉が出る
• $S_n$ が奇数で，$(n+1)$ 回目に白玉が出る

よって

$$ p_{n+1}=\frac23p_n+\frac13(1-p_n) $$

したがって

$$ p_{n+1}=\frac{p_n+1}{3} $$

（3） $p_n$ を $n$ を用いて表す

漸化式

$$ p_{n+1}=\frac{p_n+1}{3} $$

を解く。定数解を $p=\dfrac{p+1}{3}$ として求めると

$$ 3p=p+1 $$

より

$$ p=\frac12 $$

そこで

$$ q_n=p_n-\frac12 $$

とおくと，

$$ q_{n+1}=p_{n+1}-\frac12 =\frac{p_n+1}{3}-\frac12 =\frac{2p_n-1}{6} =\frac13\left(p_n-\frac12\right) =\frac13q_n $$

となる。したがって $q_n$ は等比数列である。

また，$p_1=\dfrac23$ であるから

$$ q_1=\frac23-\frac12=\frac16 $$

よって

$$ q_n=\frac16\left(\frac13\right)^{n-1} $$

したがって

$$ p_n=\frac12+\frac16\left(\frac13\right)^{n-1} =\frac12+\frac{1}{2\cdot 3^n} =\frac{3^n+1}{2\cdot 3^n} $$

（4） $\displaystyle \lim_{n\to\infty} p_n$ を求める

$\left(\dfrac13\right)^n\to 0$ より，

$$ p_n=\frac12+\frac{1}{2\cdot 3^n}\to \frac12 $$

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac12 $$

解説

この問題の本質は，和 $S_n$ そのものではなく，その偶奇だけを追えばよい点にある。赤玉で加わる $2$ は偶数なので偶奇を変えず，白玉で加わる $1$ だけが偶奇を反転させる。

したがって，「$S_n$ が偶数かどうか」は「白玉が偶数回出たかどうか」に言い換えられる。すると，漸化式でも二項分布でも処理できるが，設問 （2） があるので，偶奇の遷移で漸化式を立てる方針が自然である。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac23,\qquad p_2=\frac59,\qquad p_3=\frac{14}{27} $$

**(2)**

$$ p_{n+1}=\frac23p_n+\frac13(1-p_n)=\frac{p_n+1}{3} $$

**(3)**

$$ p_n=\frac{3^n+1}{2\cdot 3^n}=\frac12+\frac{1}{2\cdot 3^n} $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac12 $$