解説

方針・初手

$X_n$ がある整数で割り切れるかどうかは、$n$ 個の出目の中にその整数の素因数がそろうかどうかで判定できる。

したがって、

• $3$ で割り切れるかどうかは、出目に $3,6$ のいずれかが少なくとも1回現れるか
• $2$ で割り切れるかどうかは、出目に偶数 $2,4,6$ のいずれかが少なくとも1回現れるか

を考えればよい。

また、$6$ で割り切れるかどうかは、$2$ と $3$ の両方で割り切れることと同値であるから、その余事象を包除原理で求める。

解法1

まず、$X_n$ が $3$ で割り切れるためには、$n$ 回の出目の中に $3$ の倍数である $3,6$ が少なくとも1回現れればよい。

1回の試行で $3$ の倍数が出ない確率は

$$ \frac{4}{6}=\frac{2}{3} $$

であるから、$n$ 回とも $3$ の倍数が出ない確率は

$$ \left(\frac{2}{3}\right)^n $$

である。したがって、$X_n$ が $3$ で割り切れる確率は

$$ 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n $$

である。

よって、（ア） は

$$ 1-\left(\frac{2}{3}\right)^n $$

である。

次に、$X_n$ が $2$ で割り切れるためには、$n$ 回の出目の中に偶数 $2,4,6$ が少なくとも1回現れればよい。

1回の試行で偶数が出ない確率は

$$ \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$

であるから、$n$ 回とも奇数である確率は

$$ \left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。したがって、$X_n$ が $2$ で割り切れる確率は

$$ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

よって、（イ） は

$$ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^n $$

である。

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さらに、$X_n$ が $6$ で割り切れる確率を $p_n$ とする。

$X_n$ が $6$ で割り切れないのは、

• 偶数が1回も出ない
• $3$ の倍数が1回も出ない

の少なくとも一方が起こるときである。

ここで、

• 偶数が1回も出ない事象を $A$
• $3$ の倍数が1回も出ない事象を $B$

とおく。

すると

$$ 1-p_n=P(A\cup B) $$

である。

それぞれの確率は

$$ P(A)=\left(\frac{1}{2}\right)^n,\qquad P(B)=\left(\frac{2}{3}\right)^n $$

である。

また、$A\cap B$ は「偶数でもなく、$3$ の倍数でもない目」だけが出る場合であり、該当する出目は $1,5$ の2通りであるから、

$$ P(A\cap B)=\left(\frac{2}{6}\right)^n=\left(\frac{1}{3}\right)^n $$

である。

したがって、包除原理より

$$ \begin{aligned} 1-p_n &= \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{2}{3}\right)^n &= \\ \left(\frac{1}{3}\right)^n \end{aligned} $$

となる。

ここで $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ をくくると、

$$ \begin{aligned} 1-p_n &= \left(\frac{2}{3}\right)^n \left\{ 1+\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \log(1-p_n) &= n\log\frac{2}{3} + \log\left\{ 1+\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \end{aligned} $$

となる。これを $n$ で割ると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n}\log(1-p_n) &= \log\frac{2}{3} + \frac{1}{n} \log\left\{ 1+\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n \right\} \end{aligned} $$

を得る。

$n\to\infty$ のとき

$$ \left(\frac{3}{4}\right)^n\to 0,\qquad \left(\frac{1}{2}\right)^n\to 0 $$

より、

$$ \log\left\{ 1+\left(\frac{3}{4}\right)^n-\left(\frac{1}{2}\right)^n \right\}\to \log 1=0 $$

である。したがって第2項は $0$ に収束し、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\log(1-p_n)=\log\frac{2}{3} $$

となる。

よって、（ウ） は

$$ \log\frac{2}{3} $$

である。

解説

この問題では、積そのものを直接扱う必要はない。

積が $2$ や $3$ で割り切れるかどうかは、各回の出目の中に必要な素因数をもつ目が1回でも出たかどうかに言い換えるのが基本である。

また、$6$ で割り切れない確率を考えると、「偶数が出ない」「$3$ の倍数が出ない」という2つの事象の和事象になるので、包除原理を用いるのが自然である。極限では、指数関数的に減少する項のうち、最も減少が遅い $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ が支配的になることがポイントである。

答え

$$ \text{(ア)};1-\left(\frac{2}{3}\right)^n,\qquad \text{(イ)};1-\left(\frac{1}{2}\right)^n,\qquad \text{(ウ)};\log\frac{2}{3} $$