解説

方針・初手

（1） は、数列

$$ S_n=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1} $$

に対して $rS_n$ を作り、差をとるのが基本である。

（2） は、1回の組 $(A,B)$ において「2人とも外す」確率が一定であることに注目する。各 $p_n,q_n$ は、その事象が起こるまでの外れ方を順に掛け合わせればよい。

（3） は （1） で得た

$$ \sum_{n=1}^{\infty}nr^{n-1} $$

の値をそのまま使う。

解法1

**(1)**

まず

$$ S_n=1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1} $$

に $r$ を掛けると、

$$ rS_n=r+2r^2+3r^3+\cdots+(n-1)r^{n-1}+nr^n $$

である。

したがって差をとると、

$$ \begin{aligned} S_n-rS_n &=(1+2r+3r^2+\cdots+nr^{n-1})\\ &\quad-(r+2r^2+3r^3+\cdots+(n-1)r^{n-1}+nr^n)\\ &=1+r+r^2+\cdots+r^{n-1}-nr^n \end{aligned} $$

となる。よって

$$ (1-r)S_n=\frac{1-r^n}{1-r}-nr^n $$

であり、

$$ S_n=\frac{1-r^n}{(1-r)^2}-\frac{nr^n}{1-r} $$

を得る。

ここで $|r|<1$ より $r^n\to 0$ であり、さらに問題文の指示より $nr^n\to 0$ である。したがって

$$ S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{1}{(1-r)^2} $$

である。

**(2)**

A が外す確率は $\dfrac15$、B が外す確率は $\dfrac12$ であるから、1回の組 $(A,B)$ で2人とも外す確率は

$$ \frac15\cdot\frac12=\frac1{10} $$

である。

**[1]**

$n=1$ のとき、A が1回目に命中する確率はそのまま

$$ p_1=\frac45 $$

である。

また、A が外してから B が命中する確率は

$$ q_1=\frac15\cdot\frac12=\frac1{10} $$

である。

**[2]**

$n\geqq 2$ とする。

1回目から $(n-1)$ 回目までは A も B もともに外し、その後 $n$ 回目に A が命中するので、

$$ p_n=\left(\frac1{10}\right)^{n-1}\cdot\frac45 $$

である。

**[3]**

$n\geqq 2$ とする。

1回目から $(n-1)$ 回目までは A も B もともに外し、$n$ 回目に A は外し B が命中するので、

$$ q_n=\left(\frac1{10}\right)^{n-1}\cdot\frac15\cdot\frac12 =\left(\frac1{10}\right)^n $$

である。

なお、この式は $n=1$ の場合にも成り立ち、実際に $q_1=\dfrac1{10}$ となる。

**(3)**

（2） より

$$ p_n=\frac45\left(\frac1{10}\right)^{n-1} $$

だから、

$$ E=\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)p_n =\frac45\sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)\left(\frac1{10}\right)^{n-1} $$

となる。

ここで $r=\dfrac1{10}$ とおくと、

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)r^{,n-1} =2\sum_{n=1}^{\infty}nr^{,n-1}-\sum_{n=1}^{\infty}r^{,n-1} $$

である。

（1） より

$$ \sum_{n=1}^{\infty}nr^{,n-1}=\frac{1}{(1-r)^2} $$

であり、また等比級数の和より

$$ \sum_{n=1}^{\infty}r^{,n-1}=\frac{1}{1-r} $$

である。したがって

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(2n-1)r^{,n-1} =\frac{2}{(1-r)^2}-\frac{1}{1-r} $$

となる。ここに $r=\dfrac1{10}$ を代入すると、

$$ \frac{2}{(1-\frac1{10})^2}-\frac{1}{1-\frac1{10}} =\frac{2}{(\frac9{10})^2}-\frac{1}{\frac9{10}} =\frac{200}{81}-\frac{10}{9} =\frac{110}{81} $$

である。

よって

$$ E=\frac45\cdot\frac{110}{81}=\frac{88}{81} $$

となる。

解説

この問題の要点は2つである。

1つ目は、（1） のような級数では $S_n$ と $rS_n$ の差をとることで係数が整理されることである。これは等比数列に係数 $1,2,3,\dots$ が付いた和の典型処理である。

2つ目は、（2） で「1回の組 $(A,B)$ で2人とも外す確率」が常に $\dfrac1{10}$ で一定になる点である。したがって、$n$ 回目まで到達する確率は等比的に減少し、$p_n,q_n$ はすぐに書ける。

（3） は、その $p_n$ を使った級数計算であり、（1） の結果を再利用するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{1}{(1-r)^2} $$

**(2)**

**[1]**

$$ p_1=\frac45,\qquad q_1=\frac1{10} $$

**[2]**

$$ p_n=\frac45\left(\frac1{10}\right)^{n-1}\qquad(n\geqq 2) $$

**[3]**

$$ q_n=\left(\frac1{10}\right)^n\qquad(n\geqq 2) $$

**(3)**

$$ E=\frac{88}{81} $$