解説

方針・初手

状態 $0,1,2,3$ のうち、$0,3$ は一度入ると動かない吸収状態である。したがって、まず $Q$ が $1,2,3$ にある確率 $P_1(n),P_2(n),P_3(n)$ の漸化式を立てる。

特に $P_1(n),P_2(n)$ については、差 $P_1(n)-P_2(n)$ と和 $P_1(n)+P_2(n)$ を考えると簡単になる。

解法1

$Q$ が $1$ にあるとき、

• $1$ が出れば $2$ へ移るので、$1\to2$ の確率は $\dfrac16$
• 偶数が出れば $0$ へ移るので、$1\to0$ の確率は $\dfrac36=\dfrac12$
• $3,5$ が出れば $1$ にとどまるので、$1\to1$ の確率は $\dfrac26=\dfrac13$

同様に、$Q$ が $2$ にあるとき、

• $1$ が出れば $1$ へ移るので、$2\to1$ の確率は $\dfrac16$
• 偶数が出れば $3$ へ移るので、$2\to3$ の確率は $\dfrac36=\dfrac12$
• $3,5$ が出れば $2$ にとどまるので、$2\to2$ の確率は $\dfrac26=\dfrac13$

よって

$$ P_1(n+1)=\frac13 P_1(n)+\frac16 P_2(n) $$

$$ P_2(n+1)=\frac16 P_1(n)+\frac13 P_2(n) $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} P_1(n+1)-P_2(n+1) &=\left(\frac13-\frac16\right)P_1(n)+\left(\frac16-\frac13\right)P_2(n)\\ &=\frac16\bigl(P_1(n)-P_2(n)\bigr) \end{aligned} $$

となる。

初期状態は $Q$ が $2$ にあるから

$$ P_1(0)=0,\qquad P_2(0)=1 $$

であり、

$$ P_1(0)-P_2(0)=-1 $$

である。ゆえに

$$ P_1(n)-P_2(n)=-\left(\frac16\right)^n $$

したがって

$$ P_1(n+1)-P_2(n+1)=-\left(\frac16\right)^{n+1} $$

である。

次に和をとると、

$$ \begin{aligned} P_1(n+1)+P_2(n+1) &=\left(\frac13+\frac16\right)P_1(n)+\left(\frac16+\frac13\right)P_2(n)\\ &=\frac12\bigl(P_1(n)+P_2(n)\bigr) \end{aligned} $$

となる。しかも

$$ P_1(0)+P_2(0)=1 $$

であるから、

$$ P_1(n)+P_2(n)=\left(\frac12\right)^n $$

よって

$$ P_1(n+1)+P_2(n+1)=\left(\frac12\right)^{n+1} $$

である。

さらに、$Q$ が $3$ にある確率については、$3$ は吸収状態であり、$2$ から偶数の目で $3$ に移るので

$$ P_3(n+1)=\frac12 P_2(n)+P_3(n) $$

が成り立つ。

ここで

$$ P_2(n)=\frac{{P_1(n)+P_2(n)}-{P_1(n)-P_2(n)}}{2} $$

より、

$$ P_2(n)=\frac{1}{2}\left\{\left(\frac12\right)^n+\left(\frac16\right)^n\right\} $$

となる。

したがって

$$ P_3(n+1)-P_3(n)=\frac12 P_2(n) =\frac14\left\{\left(\frac12\right)^n+\left(\frac16\right)^n\right\} $$

である。初期値 $P_3(0)=0$ を用いて $n=0$ から和をとると、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}P_3(n) &=\sum_{n=0}^{\infty}\bigl(P_3(n+1)-P_3(n)\bigr)\\ &=\frac14\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^n+\frac14\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac16\right)^n\\ &=\frac14\cdot \frac{1}{1-\frac12}+\frac14\cdot \frac{1}{1-\frac16}\\ &=\frac14\cdot 2+\frac14\cdot \frac65\\ &=\frac12+\frac{3}{10} =\frac45 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$P_1(n),P_2(n)$ を個別に追うよりも、差と和をとることで一次の等比型に落とすことである。

また、$P_3(n)$ は直接解こうとすると見通しが悪いが、

$$ P_3(n+1)-P_3(n)=\frac12 P_2(n) $$

とみれば、$P_2(n)$ の和に帰着できる。吸収状態をもつ確率遷移では、このように「増分」を見る処理が有効である。

答え

$$ \boxed{\text{カ}=\frac13,\ \text{キ}=\frac13,\ \text{ク}=\frac16,\ \text{ケ}=\frac12,\ \text{コ}=\frac45} $$