解説

方針・初手

1回の操作では4個の玉のうち3個を取り出すので、「どの3個を取り出したか」を考えるより「どの1個が袋に残ったか」を考える方が簡単である。

袋に残った1個が赤玉なら、その後に赤玉2個と白玉1個を入れるので、最終的な赤玉の個数は3個になる。 袋に残った1個が白玉なら、最終的な赤玉の個数は2個になる。

したがって、1回目以降、袋の中の赤玉の個数は2個または3個のどちらかしかとらない。この事実を用いて漸化式を立てる。

解法1

まず、袋の中の赤玉の個数を状態として考える。

赤玉が2個、白玉が2個のとき、4個のうち1個が袋に残る。

• 残った1個が白玉である確率は $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ である。
• このとき操作後の袋の中は、残った白玉1個に加えて赤玉2個、白玉1個を入れるので、赤玉2個、白玉2個になる。

よって

$$ p_1=\frac{1}{2} $$

である。

次に $p_2$ を求める。

1回目の操作後、袋の中は次の2通りである。

（i） 赤玉2個、白玉2個である場合 この確率は $p_1=\dfrac{1}{2}$ であり、この状態から次の操作後に赤玉が2個になる確率は再び $\dfrac{1}{2}$ である。

（ii） 赤玉3個、白玉1個である場合 この確率は $1-p_1=\dfrac{1}{2}$ である。この状態から次の操作後に赤玉が2個になるためには、袋に残る1個が白玉であればよいから、その確率は $\dfrac{1}{4}$ である。

したがって

$$ p_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4} =\frac{1}{4}+\frac{1}{8} =\frac{3}{8} $$

である。

次に、一般の $n$ について漸化式を求める。

$n-1$ 回の操作後に赤玉が2個である確率は $p_{n-1}$、赤玉が3個である確率は $1-p_{n-1}$ である。

• 赤玉2個、白玉2個の状態から、次の操作後に赤玉が2個になる確率は $\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
• 赤玉3個、白玉1個の状態から、次の操作後に赤玉が2個になる確率は $\dfrac{1}{4}$

ゆえに

$$ p_n=\frac{1}{2}p_{n-1}+\frac{1}{4}(1-p_{n-1}) $$

すなわち

$$ p_n=\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{4} \qquad (n\geq 2) $$

となる。

これを解く。定数解を $p$ とすると

$$ p=\frac{1}{4}p+\frac{1}{4} $$

より

$$ \frac{3}{4}p=\frac{1}{4} $$

したがって

$$ p=\frac{1}{3} $$

である。そこで

$$ q_n=p_n-\frac{1}{3} $$

とおくと、漸化式より

$$ q_n=\frac{1}{4}q_{n-1} $$

となる。よって

$$ q_n=q_1\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} $$

であり、$p_1=\dfrac{1}{2}$ だから

$$ q_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} $$

ゆえに

$$ p_n-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} $$

すなわち

$$ p_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \qquad (n\geq 1) $$

である。

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac{1}{3} $$

となる。

解説

この問題の要点は、「3個取り出す」ことを直接扱わず、「4個中どの1個が残るか」と見直すことである。

この見方をすると、操作後の赤玉の個数は2個か3個しかありえず、状態が大幅に簡単になる。そこから条件付き確率で漸化式を立てればよい。

また、漸化式

$$ p_n=\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{4} $$

は一次の漸化式なので、定数解 $\dfrac{1}{3}$ を引いて等比数列に帰着させるのが標準的な処理である。

答え

**(1)**

$$ p_1=\frac{1}{2} $$

**(2)**

$$ p_2=\frac{3}{8} $$

**(3)**

$$ p_n=\frac{1}{2}p_{n-1}+\frac{1}{4}(1-p_{n-1}) =\frac{1}{4}p_{n-1}+\frac{1}{4} \qquad (n\geq 2) $$

**(4)**

$$ p_n=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \qquad (n\geq 1) $$

**(5)**

$$ \lim_{n\to\infty}p_n=\frac{1}{3} $$