解説

方針・初手

分数型の漸化式なので、そのままでは扱いにくい。逆数 $y_n=\dfrac{1}{x_n}$ を考えると一次の漸化式に直せるのが基本方針である。

ただし $a=0$ のときは $x_1=0$ であり、漸化式から以後もずっと $x_n=0$ となる。そこで、まずは数項を具体的に計算し、その後で一般項を求める。

解法1

**(1)**

$x_2,x_3,x_4$ を求める。

漸化式

$$ x_{n+1}=\frac{x_n}{3x_n+2} $$

に $n=1,2,3$ を順に代入する。

まず

$$ x_2=\frac{x_1}{3x_1+2}=\frac{a}{3a+2}. $$

次に

$$ x_3=\frac{x_2}{3x_2+2} =\frac{\dfrac{a}{3a+2}}{\dfrac{3a}{3a+2}+2} =\frac{\dfrac{a}{3a+2}}{\dfrac{3a+2(3a+2)}{3a+2}} =\frac{a}{9a+4}. $$

さらに

$$ x_4=\frac{x_3}{3x_3+2} =\frac{\dfrac{a}{9a+4}}{\dfrac{3a}{9a+4}+2} =\frac{\dfrac{a}{9a+4}}{\dfrac{3a+2(9a+4)}{9a+4}} =\frac{a}{21a+8}. $$

したがって

$$ x_2=\frac{a}{3a+2},\quad x_3=\frac{a}{9a+4},\quad x_4=\frac{a}{21a+8} $$

である。

（2） 一般項 $x_n$ を求める。

まず $a=0$ のときは

$$ x_1=0,\quad x_{n+1}=\frac{0}{2}=0 $$

より、

$$ x_n=0 $$

である。

以下、$a\neq 0$ とする。このとき

$$ y_n=\frac{1}{x_n} $$

とおくと、

$$ y_{n+1}=\frac{1}{x_{n+1}} =\frac{3x_n+2}{x_n} =3+\frac{2}{x_n} =3+2y_n $$

となる。これは一次の漸化式である。

ここで

$$ z_n=y_n+3 $$

とおくと、

$$ z_{n+1}=y_{n+1}+3=(2y_n+3)+3=2(y_n+3)=2z_n $$

となるから、${z_n}$ は等比数列である。初項は

$$ z_1=y_1+3=\frac{1}{a}+3 $$

であるから、

$$ z_n=\left(\frac{1}{a}+3\right)2^{n-1} $$

したがって

$$ y_n=z_n-3=\left(\frac{1}{a}+3\right)2^{n-1}-3 $$

であり、

$$ x_n=\frac{1}{y_n} =\frac{1}{\left(\dfrac{1}{a}+3\right)2^{n-1}-3}. $$

分母を整理すると

$$ x_n=\frac{a}{(1+3a)2^{n-1}-3a}. $$

これは $a=0$ のときにも $x_n=0$ を与えるので、結局

$$ x_n=\frac{a}{(1+3a)2^{n-1}-3a} $$

である。

（3） 数列 ${x_n}$ の極限値を求める。

一般項

$$ x_n=\frac{a}{(1+3a)2^{n-1}-3a} $$

を用いる。

**(i)**

$a\neq -\dfrac{1}{3}$ のとき

このとき $1+3a\neq 0$ であるから、分母の主要項は $(1+3a)2^{n-1}$ であり、$n\to\infty$ で分母の絶対値は無限大に発散する。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=0. $$

**(ii)**

$a=-\dfrac{1}{3}$ のとき

漸化式に代入すると

$$ x_{n+1}=\frac{-1/3}{3(-1/3)+2}=\frac{-1/3}{1}=-\frac{1}{3} $$

となるので、すべての $n$ で

$$ x_n=-\frac{1}{3} $$

である。よって

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=-\frac{1}{3}. $$

以上より極限値は

$$ \lim_{n\to\infty}x_n= \begin{cases} 0 & \left(a\neq -\dfrac{1}{3}\right),\\[1mm] -\dfrac{1}{3} & \left(a=-\dfrac{1}{3}\right) \end{cases} $$

である。

解説

この問題の要点は、分数型の漸化式をそのまま追うのではなく、逆数をとって一次の漸化式に直すことである。

実際、

$$ \frac{1}{x_{n+1}}=3+\frac{2}{x_n} $$

となるので、$y_n=\dfrac{1}{x_n}$ とおけば、標準的な一次漸化式になる。さらに $y_n+3$ とおくと等比数列になり、一般項も極限も一気に求まる。

また、$a=-\dfrac{1}{3}$ は不動点になっており、この場合だけ極限が $0$ ではなく $-\dfrac{1}{3}$ になる点に注意が必要である。

答え

**(1)**

$$ x_2=\frac{a}{3a+2},\quad x_3=\frac{a}{9a+4},\quad x_4=\frac{a}{21a+8} $$

**(2)**

$$ x_n=\frac{a}{(1+3a)2^{n-1}-3a} $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}x_n= \begin{cases} 0 & \left(a\neq -\dfrac{1}{3}\right),\\[1mm] -\dfrac{1}{3} & \left(a=-\dfrac{1}{3}\right) \end{cases} $$