解説

方針・初手

まず $S_n,\ R_n$ をそれぞれ具体式で表す。

そのうえで

$$ \frac{1}{R_k} $$

を部分分数分解して和を求めれば，極限は直接計算できる。

解法1

数列 $1,7,13,19,\dots$ は初項 $1$，公差 $6$ の等差数列であるから，第 $n$ 項は

$$ 6n-5 $$

である。したがって

$$ S_n=\frac{n}{2}{2\cdot 1+(n-1)\cdot 6}=n(3n-2) $$

となる。

次に，数列 $1+2,,2+3,,3+4,\dots$ の第 $k$ 項は

$$ k+(k+1)=2k+1 $$

である。よって

$$ R_n=\sum_{k=1}^{n}(2k+1) =2\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}1 =n(n+1)+n =n(n+2) $$

を得る。

したがって

$$ \frac{1}{R_k}=\frac{1}{k(k+2)} =\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) $$

であるから，

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_k} =\frac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right) $$

となり，これは和が消去されて

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_k} =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) $$

となる。

また，

$$ \frac{R_n}{nS_n} =\frac{n(n+2)}{n\cdot n(3n-2)} =\frac{n+2}{n(3n-2)} $$

である。

以上より，求める極限は

$$ \lim_{n\to\infty}\left\{\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}+\cdots+\frac{1}{R_n}\right)-\frac{R_n}{nS_n}\right\} $$

$$ =\lim_{n\to\infty}\left\{ \frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right) -\frac{n+2}{n(3n-2)} \right\} $$

$$ =\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}\right)-0 =\frac{3}{4} $$

となる。

解説

この問題の要点は，$S_n,\ R_n$ をまず正確に式で表すことである。

特に $R_n$ については

$$ R_n=n(n+2) $$

と出せれば，

$$ \frac{1}{R_k}=\frac{1}{k(k+2)} $$

が部分分数分解でき，和が望ましく消去される。極限で問題になるのは主にこの級数部分であり，残りの

$$ \frac{R_n}{nS_n} $$

は次数を見れば $0$ に近づく。

答え

$$ \frac{3}{4} $$