解説

方針・初手

まず $a_n+b_n$ に注目する。漸化式を足すと和が一定であることが分かるので、$b_n=1-a_n$ として $a_n$ だけの一次漸化式に直せる。 すると等比数列型に帰着でき、第 $n$ 項も収束条件も一度に求まる。

解法1

与えられた漸化式は

$$ \begin{cases} a_{n+1}=(1-p)a_n+qb_n,\\ b_{n+1}=pa_n+(1-q)b_n \end{cases} \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

であり、初期条件は $a_1=1,\ b_1=0$ である。

まず両式を加えると

$$ a_{n+1}+b_{n+1} =(1-p)a_n+qb_n+pa_n+(1-q)b_n =a_n+b_n $$

となる。したがって ${a_n+b_n}$ は定数列であり、

$$ a_n+b_n=a_1+b_1=1 $$

である。よって

$$ b_n=1-a_n $$

が成り立つ。

これを $a_{n+1}=(1-p)a_n+qb_n$ に代入すると

$$ a_{n+1}=(1-p)a_n+q(1-a_n) =(1-p-q)a_n+q $$

を得る。

ここで定数解を求めると、$a_{n+1}=a_n=\alpha$ として

$$ \alpha=(1-p-q)\alpha+q $$

より

$$ (p+q)\alpha=q $$

すなわち

$$ \alpha=\frac{q}{p+q} $$

である。そこで

$$ a_{n+1}-\frac{q}{p+q} =(1-p-q)\left(a_n-\frac{q}{p+q}\right) $$

となるから、$\left\{a_n-\dfrac{q}{p+q}\right\}$ は公比 $1-p-q$ の等比数列である。

したがって

$$ a_n-\frac{q}{p+q} =(1-p-q)^{n-1}\left(a_1-\frac{q}{p+q}\right) $$

であり、$a_1=1$ を用いると

$$ a_n-\frac{q}{p+q} =(1-p-q)^{n-1}\left(1-\frac{q}{p+q}\right) =(1-p-q)^{n-1}\frac{p}{p+q} $$

となる。よって

$$ a_n=\frac{q}{p+q}+\frac{p}{p+q}(1-p-q)^{n-1} $$

を得る。

さらに $b_n=1-a_n$ から

$$ b_n =1-\left\{\frac{q}{p+q}+\frac{p}{p+q}(1-p-q)^{n-1}\right\} =\frac{p}{p+q}-\frac{p}{p+q}(1-p-q)^{n-1} $$

すなわち

$$ b_n=\frac{p}{p+q}\left\{1-(1-p-q)^{n-1}\right\} $$

である。

次に収束条件を調べる。$a_n,\ b_n$ はいずれも $(1-p-q)^{n-1}$ を含むので、両数列が収束するための必要十分条件は

$$ (1-p-q)^{n-1} $$

が収束することである。

$p>0,\ q>0$ より $p+q>0$ なので

$$ 1-p-q<1 $$

は常に成り立つ。したがって収束するためには

$$ -1<1-p-q<1 $$

であれば十分であり、実際これが必要でもある。ゆえに

$$ -1<1-p-q \iff p+q<2 $$

が収束条件である。

このとき $|1-p-q|<1$ であるから

$$ (1-p-q)^{n-1}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

となり、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{q}{p+q},\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{p}{p+q} $$

を得る。

解説

この問題の核心は、連立漸化式をそのまま扱わず、まず和 $a_n+b_n$ の不変性を見抜くことである。 和が常に $1$ だと分かれば $b_n=1-a_n$ とおけ、二変数の問題が一次漸化式一つに落ちる。

また、収束条件は最終的に $(1-p-q)^{n-1}$ の挙動だけを見ればよい。 したがって固定点 $\dfrac{q}{p+q},\ \dfrac{p}{p+q}$ のまわりでの等比数列とみなすのが最も自然である。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{q}{p+q}+\frac{p}{p+q}(1-p-q)^{n-1} $$

$$ b_n=\frac{p}{p+q}\left\{1-(1-p-q)^{n-1}\right\} $$

**(2)**

${a_n},{b_n}$ が収束するための必要十分条件は

$$ p+q<2 $$

である。

そのとき

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{q}{p+q},\qquad \lim_{n\to\infty}b_n=\frac{p}{p+q} $$

である。