解説

方針・初手

積で与えられた数列では、各項 $a_n$ は

$$ a_n=\frac{P_n}{P_{n-1}} $$

によって取り出せる。したがって、まず $P_1,\ P_2$ から $a_1,\ a_2$ を求め、その後に一般の $a_n$ を $P_n/P_{n-1}$ で求めるのが自然である。

さらに、$a_n$ が分かれば和 $S_n$ は部分分数分解によって処理できる。

解法1

**(1)**

$a_1,\ a_2$ を求める。

$n=1$ のとき、

$$ P_1=a_1=\frac{1}{(1+1)(1!)^2}=\frac{1}{2} $$

であるから、

$$ a_1=\frac{1}{2} $$

となる。

次に $n=2$ のとき、

$$ P_2=a_1a_2=\frac{1}{(2+1)(2!)^2}=\frac{1}{12} $$

である。したがって、

$$ a_2=\frac{P_2}{a_1} =\frac{1/12}{1/2} =\frac{1}{6} $$

である。

（2） 第 $n$ 項 $a_n$ を求める。

$n\geqq 2$ とすると、

$$ a_n=\frac{P_n}{P_{n-1}} $$

である。ここで

$$ P_n=\frac{1}{(n+1)(n!)^2},\qquad P_{n-1}=\frac{1}{n{(n-1)!}^2} $$

より、

$$ a_n =\frac{1}{(n+1)(n!)^2}\div \frac{1}{n{(n-1)!}^2} =\frac{n{(n-1)!}^2}{(n+1)(n!)^2} $$

となる。さらに $n!=n(n-1)!$ を用いると、

$$ (n!)^2=n^2{(n-1)!}^2 $$

だから、

$$ a_n =\frac{n{(n-1)!}^2}{(n+1)n^2{(n-1)!}^2} =\frac{1}{n(n+1)} $$

を得る。

この式は $n=1$ のときも

$$ a_1=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2} $$

となって一致するので、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n=\frac{1}{n(n+1)} $$

である。

**(3)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$ を求める。

（2） より、

$$ a_n=\frac{1}{n(n+1)} =\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

と変形できる。よって

$$ S_n=\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) $$

であるから、これは隣り合う項が消し合う和となり、

$$ \begin{aligned} S_n &=\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right) \\ &=1-\frac{1}{n+1} =\frac{n}{n+1} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} =1 $$

である。

解説

積 $P_n$ が与えられているとき、各項を直接読むのではなく

$$ a_n=\frac{P_n}{P_{n-1}} $$

とするのが基本である。この操作により、積の情報を1項ごとの情報に変換できる。

また、得られた

$$ a_n=\frac{1}{n(n+1)} $$

は部分分数分解すると

$$ \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} $$

となるため、和 $S_n$ は望ましい形に消去される。積から一般項を求め、一般項から和を処理するという流れが重要である。

答え

**(1)**

$$ a_1=\frac12,\qquad a_2=\frac16 $$

**(2)**

$$ a_n=\frac{1}{n(n+1)} \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

**(3)**

$$ S_n=\frac{n}{n+1} $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=1 $$