解説

方針・初手

この漸化式は

$$ x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{1}{25x_n}\right) $$

という形をしており、$x_n$ と $\dfrac{1}{25x_n}$ の平均をとっている。したがって、まず相加平均と相乗平均の関係を用いると $x_n$ の下限が見えやすい。

また、極限値としては $\dfrac15$ が自然に現れるので、$x_n-\dfrac15$ を調べるのが有効である。

解法1

まず $x_1=1>0$ である。

さらに、$x_n>0$ なら

$$ x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{1}{25x_n}\right)>0 $$

であるから、数学的帰納法によりすべての $n$ について $x_n>0$ である。

**(1)**

$x_n\ge \dfrac15$ を示す。

$x_n>0$ であるから、相加平均と相乗平均の関係より

$$ x_{n+1} =\frac12\left(x_n+\frac{1}{25x_n}\right) \ge \sqrt{x_n\cdot \frac{1}{25x_n}} =\frac15 $$

となる。

したがって $n\ge 2$ で $x_n\ge \dfrac15$ である。また $x_1=1\ge \dfrac15$ であるから、すべての自然数 $n$ について

$$ x_n\ge \frac15 $$

が成り立つ。

**(2)**

$x_{n+1}-\dfrac15\le \dfrac12\left(x_n-\dfrac15\right)$ を示す。

漸化式から

$$ x_{n+1}-\frac15 =\frac12\left(x_n+\frac{1}{25x_n}\right)-\frac15 $$

である。右辺を通分すると

$$ x_{n+1}-\frac15 =\frac{25x_n^2-10x_n+1}{50x_n} =\frac{(5x_n-1)^2}{50x_n} $$

となる。

一方、

$$ \frac12\left(x_n-\frac15\right) =\frac{5x_n-1}{10} $$

であるから、

$$ x_{n+1}-\frac15 =\frac{(5x_n-1)^2}{50x_n} =\frac12\left(x_n-\frac15\right)\cdot \frac{5x_n-1}{5x_n} $$

と書ける。

（1） より $x_n\ge \dfrac15$ なので $5x_n-1\ge 0$ であり、

$$ 0\le \frac{5x_n-1}{5x_n}\le 1 $$

が成り立つ。よって

$$ x_{n+1}-\frac15 \le \frac12\left(x_n-\frac15\right) $$

となる。

**(3)**

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}x_n$ を求める。

（1） より $x_n-\dfrac15\ge 0$ であり、さらに （2） より

$$ 0\le x_{n+1}-\frac15\le \frac12\left(x_n-\frac15\right) $$

が成り立つ。

これを繰り返し用いると、

$$ 0\le x_n-\frac15 \le \left(\frac12\right)^{n-1}\left(x_1-\frac15\right) = \left(\frac12\right)^{n-1}\cdot \frac45 $$

を得る。

右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するから、はさみうちの原理により

$$ x_n-\frac15\to 0 $$

すなわち

$$ x_n\to \frac15 $$

である。

解説

この問題の核心は、漸化式の形から $\dfrac15$ が特別な値であると見抜くことである。

実際、

$$ x=\frac12\left(x+\frac{1}{25x}\right) $$

を満たす正の数 $x$ を求めると $x=\dfrac15$ となる。そこで $x_n-\dfrac15$ を調べると、誤差が毎回高々半分になることが （2） から分かる。

（1） では相加平均と相乗平均、（2） では式変形、（3） でははさみうちの原理という流れで処理するのが自然である。

答え

**(1)**

すべての自然数 $n$ について

$$ x_n\ge \frac15 $$

**(2)**

すべての自然数 $n$ について

$$ x_{n+1}-\frac15\le \frac12\left(x_n-\frac15\right) $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\frac15 $$