解説

方針・初手

漸化式 $a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}$ は、そのままでは扱いにくいが、対数をとると積と平方根が和と定数倍に変わる。

したがって $b_n=\log a_n$ とおけば、$b_n$ は線形漸化式を満たす。まずこれを解き、その後 $a_n$ に戻せばよい。

解法1

$a_1=1,\ a_2=2$ であり、すべての項は正であるから $b_n=\log a_n$ とおくことができる。

すると、与えられた漸化式 $a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}$ より

$$ b_{n+2}=\log a_{n+2} =\log \sqrt{a_na_{n+1}} =\frac12(\log a_n+\log a_{n+1}) =\frac12(b_n+b_{n+1}) $$

となる。よって $b_n$ は

$$ 2b_{n+2}-b_{n+1}-b_n=0 $$

を満たす。

この特性方程式は

$$ 2r^2-r-1=0 $$

であり、これを解くと

$$ (2r+1)(r-1)=0 $$

より、根は $r=1,\ -\frac12$ である。

したがって

$$ b_n=A+B\left(-\frac12\right)^{n-1} $$

と表せる。初期条件 $a_1=1,\ a_2=2$ から

$$ b_1=\log 1=0,\qquad b_2=\log 2 $$

であるので、

$$ A+B=0 $$

$$ A-\frac12B=\log 2 $$

を得る。$A=-B$ を代入すると

$$ -B-\frac12B=\log 2 $$

すなわち

$$ -\frac32B=\log 2 $$

より

$$ B=-\frac23\log 2,\qquad A=\frac23\log 2 $$

となる。

よって

$$ b_n=\frac23\log 2-\frac23\log 2\left(-\frac12\right)^{n-1} =\frac23\log 2\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\} $$

である。したがって

$$ a_n=e^{b_n} =e^{\frac23\log 2\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\}} =2^{\frac23\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\}} $$

となる。

次に極限を求める。

$-\dfrac12$ の絶対値は $1$ 未満であるから、

$$ \left(-\frac12\right)^{n-1}\to 0\qquad (n\to\infty) $$

である。したがって

$$ a_n=2^{\frac23\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\}} \to 2^{\frac23} $$

となる。

解説

この問題の要点は、相乗平均の形 $a_{n+2}=\sqrt{a_na_{n+1}}$ を見て、そのまま項を追うのではなく、対数をとって線形漸化式に直すことである。

対数をとると、積は和に、平方根は $\frac12$ 倍に変わるので、特性方程式で処理できる標準的な形になる。漸化式の中に積・商・累乗・根号が現れたとき、対数変換は典型的な方針である。

答え

**(1)**

$$ a_n=2^{\frac23\left\{1-\left(-\frac12\right)^{n-1}\right\}} \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2^{\frac23} $$