解説

方針・初手

$(1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}$ という形で表されているので、まず両辺に $1+\sqrt{2}$ を掛けて $n+1$ の場合を作れば漸化式が得られる。

また、$\sqrt{2}$ を $-\sqrt{2}$ に置き換えると共役な式が得られるので、$(1-\sqrt{2})^n$ と結びつけるのが自然である。最後は $(1-\sqrt{2})^n$ が $0$ に収束することを使って $\dfrac{a_n}{b_n}$ の極限を求める。

解法1

**(1)**

定義より

$$ (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2} $$

である。両辺に $1+\sqrt{2}$ を掛けると

$$ (1+\sqrt{2})^{n+1}=(1+\sqrt{2})(a_n+b_n\sqrt{2}) $$

となる。右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} (1+\sqrt{2})(a_n+b_n\sqrt{2}) &=a_n+a_n\sqrt{2}+b_n\sqrt{2}+2b_n \\ &=(a_n+2b_n)+(a_n+b_n)\sqrt{2} \end{aligned} $$

したがって、$(1+\sqrt{2})^{n+1}=a_{n+1}+b_{n+1}\sqrt{2}$ と比較して

$$ a_{n+1}=a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+b_n $$

となる。

**(2)**

定義式

$$ (1+\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2} $$

において、$\sqrt{2}$ を $-\sqrt{2}$ に置き換えると

$$ (1-\sqrt{2})^n=a_n-b_n\sqrt{2} $$

を得る。よって

$$ a_n-b_n\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^n $$

である。

**(3)**

（2） より

$$ a_n-b_n\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^n $$

であり、もとの式

$$ a_n+b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^n $$

と合わせると、両式の和・差から

$$ 2a_n=(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n $$

$$ 2b_n\sqrt{2}=(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n $$

となる。したがって

$$ \frac{a_n}{b_n} =\sqrt{2}, \frac{(1+\sqrt{2})^n+(1-\sqrt{2})^n}{(1+\sqrt{2})^n-(1-\sqrt{2})^n} $$

ここで分子・分母を $(1+\sqrt{2})^n$ で割ると

$$ \frac{a_n}{b_n} =\sqrt{2}, \frac{1+\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^n}{1-\left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^n} $$

となる。

ところが

$$ \left|\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right|<1 $$

であるから

$$ \left(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\right)^n \to 0 \qquad (n\to\infty) $$

である。よって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\sqrt{2}\cdot\frac{1+0}{1-0} =\sqrt{2} $$

となる。

解説

この問題の要点は、$(1+\sqrt{2})^n$ とその共役 $(1-\sqrt{2})^n$ を組で扱うことである。

（1） は単に $1+\sqrt{2}$ を掛けて係数比較をする問題である。（2） は $\sqrt{2}$ を $-\sqrt{2}$ に変えるだけで求まる。（3） は （2） を使って $a_n,b_n$ を $(1+\sqrt{2})^n,(1-\sqrt{2})^n$ で表し、$|1-\sqrt{2}|<1$ から後者が消えることを見るのが典型である。

答え

**(1)**

$$ a_{n+1}=a_n+2b_n,\qquad b_{n+1}=a_n+b_n \qquad (n=1,2,\ldots) $$

**(2)**

$$ a_n-b_n\sqrt{2}=(1-\sqrt{2})^n \qquad (n=1,2,\ldots) $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\sqrt{2} $$