解説

方針・初手

法線の条件から、点 $A_{n+1}$ における法線の方程式に $P_n(x_n,0)$ を代入して、$x_n$ と $x_{n+1}$ の関係式を作る。

その後、得られた漸化式の不動点が $\sqrt{2}$ であることに着目し、$x_n/\sqrt{2}$ に直して整理すると一般項がすぐに求まる。

解法1

点 $A_n$ は曲線 $C:y=\dfrac12x^2-1$ 上にあるから、

$$ A_n\left(x_n,\ \frac12x_n^2-1\right) $$

である。

したがって、点 $A_{n+1}$ は

$$ A_{n+1}\left(x_{n+1},\ \frac12x_{n+1}^2-1\right) $$

である。

曲線 $y=\dfrac12x^2-1$ の接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=x $$

より、$A_{n+1}$ における接線の傾きは $x_{n+1}$、法線の傾きは

$$ -\frac{1}{x_{n+1}} $$

である。

よって、$A_{n+1}$ における法線の方程式は

$$ \begin{aligned} y-\left(\frac12x_{n+1}^2-1\right) &= -\frac{1}{x_{n+1}}(x-x_{n+1}) \end{aligned} $$

となる。

この法線は $P_n(x_n,0)$ を通るので、これを代入して

$$ \begin{aligned} 0-\left(\frac12x_{n+1}^2-1\right) &= -\frac{1}{x_{n+1}}(x_n-x_{n+1}) \end{aligned} $$

を得る。

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac12x_{n+1}^2-1 &= \frac{x_n-x_{n+1}}{x_{n+1}} \\ \frac{x_n}{x_{n+1}}-1 \end{aligned} $$

より

$$ \frac12x_{n+1}^2=\frac{x_n}{x_{n+1}} $$

すなわち

$$ x_n=\frac12x_{n+1}^3 $$

である。

したがって、

$$ x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n} $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に一般項を求める。

$\sqrt{2}$ を用いて

$$ z_n=\frac{x_n}{\sqrt{2}} $$

とおくと、

$$ x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n} $$

より

$$ \begin{aligned} \frac{x_{n+1}}{\sqrt{2}} &= \frac{(2x_n)^{1/3}}{\sqrt{2}} \\ \left(\frac{x_n}{\sqrt{2}}\right)^{1/3} \end{aligned} $$

となるから、

$$ z_{n+1}=z_n^{1/3} $$

である。

これを繰り返すと、

$$ z_n=z_1^{(1/3)^{,n-1}} $$

となる。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{x_n}{\sqrt{2}} &= \left(\frac{x_1}{\sqrt{2}}\right)^{(1/3)^{,n-1}} \end{aligned} $$

すなわち

$$ \begin{aligned} x_n &= \sqrt{2}\left(\frac{x_1}{\sqrt{2}}\right)^{(1/3)^{,n-1}} \end{aligned} $$

である。

ここで $x_1>\sqrt{2}$ であるから $\dfrac{x_1}{\sqrt{2}}>1$ である。一方、

$$ \left(\frac13\right)^{n-1}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

より、

$$ \left(\frac{x_1}{\sqrt{2}}\right)^{(1/3)^{,n-1}}\to 1 $$

となる。よって

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{2} $$

である。

解説

この問題の核心は、法線の条件を座標で正確に式にすることである。法線の傾きは接線の傾きの逆数に $-1$ を掛けたものであり、微分して接線の傾きを出すところが出発点になる。

関係式 $x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n}$ が得られた後は、その不動点が $\sqrt{2}$ であることに注目すると見通しがよい。実際、$x_n/\sqrt{2}$ に直すと「立方根を繰り返す形」になり、一般項も極限もすぐに求まる。

答え

**(1)**

$$ x_n=\frac12x_{n+1}^3 \qquad\left(\text{したがって }x_{n+1}=\sqrt[3]{2x_n}\right) $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} x_n &= \sqrt{2}\left(\frac{x_1}{\sqrt{2}}\right)^{(1/3)^{,n-1}} \end{aligned} $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\sqrt{2} $$