解説

方針・初手

与えられた漸化式は

$$ a_{n+1}=\frac{3a_n-4}{a_n-1} $$

という分数式であり、そのままでは扱いにくい。そこで、この変換の不動点を調べる。

$$ x=\frac{3x-4}{x-1} $$

を解くと

$$ x(x-1)=3x-4 $$

より

$$ x^2-4x+4=(x-2)^2=0 $$

となるので、不動点は $2$ である。したがって $a_n-2$ に注目すると、漸化式が簡単になると期待できる。

解法1

まず、漸化式から $a_{n+1}-2$ を求める。

$$ a_{n+1}-2=\frac{3a_n-4}{a_n-1}-2 $$

$$ =\frac{3a_n-4-2(a_n-1)}{a_n-1} =\frac{a_n-2}{a_n-1} $$

ここで、逆数をとると

$$ \frac{1}{a_{n+1}-2} =\frac{a_n-1}{a_n-2} =\frac{(a_n-2)+1}{a_n-2} =1+\frac{1}{a_n-2} $$

となる。そこで

$$ b_n=\frac{1}{a_n-2} $$

とおくと、$b_n$ は

$$ b_{n+1}=b_n+1 $$

を満たす等差数列になる。

初項は $a_1=3$ から

$$ b_1=\frac{1}{a_1-2}=\frac{1}{3-2}=1 $$

である。したがって

$$ b_n=1+(n-1)=n $$

となる。

ゆえに

$$ \frac{1}{a_n-2}=n $$

すなわち

$$ a_n-2=\frac{1}{n} $$

であるから、

$$ a_n=2+\frac{1}{n} $$

を得る。

したがって、極限は

$$ \lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\left(2+\frac{1}{n}\right) =2 $$

である。

解説

分数型の漸化式では、不動点を調べて「その値との差」を見るのが典型的である。この問題では不動点が $2$ であり、$a_n-2$ を用いると逆数をとったときに等差数列へ落ちる。

この型は、一次分数変換の漸化式で頻出であり、特に不動点が重解になっているときは $\frac{1}{a_n-\alpha}$ の形が有効である。

答え

**(1)**

$$ a_n=2+\frac{1}{n} $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2 $$