解説

方針・初手

まず $f(x)$ を微分して，$f'(x)$ を評価しやすい形に直す。すると $x>\dfrac12$ で $f'(x)$ が $0$ 以上 $\dfrac12$ 未満であることが分かる。

その結果，$f$ は $\left(\dfrac12,\infty\right)$ で単調増加となる。また，不動点 $x=1$ に対して平均値の定理を使うと，$|x_{n+1}-1|$ が $|x_n-1|$ の半分未満になることが分かり，これから収束先が $1$ であることを示せる。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac12 x\left(1+e^{-2(x-1)}\right) $$

を微分する。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac12\left(1+e^{-2(x-1)}\right)+\frac12x\cdot\left(-2e^{-2(x-1)}\right)\\ &=\frac12+\left(\frac12-x\right)e^{-2(x-1)}\\ &=\frac12-\left(x-\frac12\right)e^{-2(x-1)}. \end{aligned} $$

ここで

$$ g(x)=\left(x-\frac12\right)e^{-2(x-1)} $$

とおくと，

$$ \begin{aligned} g'(x) &=e^{-2(x-1)}-2\left(x-\frac12\right)e^{-2(x-1)}\\ &=2(1-x)e^{-2(x-1)}. \end{aligned} $$

$e^{-2(x-1)}>0$ であるから，$g'(x)$ の符号は $1-x$ の符号と一致する。したがって $g(x)$ は $x=1$ で最大となり，

$$ g(1)=\left(1-\frac12\right)e^0=\frac12 $$

である。また，$x>\dfrac12$ ならば $x-\dfrac12>0$ より $g(x)>0$ である。

よって $x>\dfrac12$ に対して

$$ 0<g(x)\le \frac12 $$

が成り立つから，

$$ 0\le f'(x)=\frac12-g(x)<\frac12 $$

となる。これで （1） が示された。

次に （2） を示す。

（i） まず $x_n>\dfrac12$ がすべての $n$ で成り立つことを示す。

（1） より $x>\dfrac12$ で $f'(x)\ge0$ だから，$f$ は $\left(\dfrac12,\infty\right)$ で単調増加である。したがって $x_0>\dfrac12$ ならば

$$ x_1=f(x_0)>f\left(\frac12\right) =\frac14(1+e)>\frac12 $$

である。同様に，$x_n>\dfrac12$ ならば

$$ x_{n+1}=f(x_n)>f\left(\frac12\right)>\frac12 $$

となるから，帰納法により

$$ x_n>\frac12 \qquad (n=0,1,2,\dots) $$

が従う。

（ii） 次に $x_n\to1$ を示す。

$f(1)$ を計算すると，

$$ f(1)=\frac12\cdot1\cdot(1+e^0)=1 $$

である。よって各 $n$ に対して平均値の定理を $f$ に適用すると，$x_n$ と $1$ の間のある数 $\xi_n$ が存在して

$$ x_{n+1}-1=f(x_n)-f(1)=f'(\xi_n)(x_n-1) $$

となる。

ここで $x_n>\dfrac12$ であり，また $1>\dfrac12$ だから，$\xi_n>\dfrac12$ である。したがって （1） より

$$ 0\le f'(\xi_n)<\frac12 $$

であるから，

$$ |x_{n+1}-1| =|f'(\xi_n)|,|x_n-1| <\frac12|x_n-1| $$

を得る。

これを繰り返せば，

$$ |x_n-1|<\left(\frac12\right)^n|x_0-1| $$

となる。右辺は $n\to\infty$ で $0$ に収束するから，

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=1 $$

である。

解説

この問題の核心は，$f'(x)$ の評価である。微分して

$$ f'(x)=\frac12-\left(x-\frac12\right)e^{-2(x-1)} $$

と変形すると，右辺第2項の最大値を調べればよい形になる。これにより $0\le f'(x)<\dfrac12$ が得られる。

すると，$f$ は $\left(\dfrac12,\infty\right)$ で増加し，しかも傾きが常に $\dfrac12$ 未満なので，不動点 $1$ のまわりで距離を縮める写像になっている。平均値の定理から

$$ |x_{n+1}-1|<\frac12|x_n-1| $$

が出れば，あとは等比数列的に誤差が $0$ に近づくことから収束が確定する。

答え

**(1)**

$x>\dfrac12$ ならば

$$ 0\le f'(x)<\frac12 $$

である。

**(2)**

$x_0>\dfrac12$ のとき，すべての $n$ について $x_n>\dfrac12$ が成り立ち，さらに

$$ |x_{n+1}-1|<\frac12|x_n-1| $$

より

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=1 $$

である。