解説

方針・初手

与えられた漸化式

$$ a_{n+2}=a_{n+1}+2a_n $$

に対し、$b_n=a_{n+1}+a_n$ とおくと、$b_{n+1}$ が $b_n$ で表せる。まず $b_n$ の漸化式を作って等比数列であることを示す。その後、$b_n$ の和を計算し、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k $$

を $a_n$ と結びつければ $a_n$ の一般項が出る。最後にその一般項から $\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$ の極限を調べる。

解法1

**(1)**

$b_{n+1}$ を計算すると、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=a_{n+2}+a_{n+1}\\ &=(a_{n+1}+2a_n)+a_{n+1}\\ &=2(a_{n+1}+a_n)\\ &=2b_n \end{aligned} $$

となる。よって ${b_n}$ は公比 $2$ の等比数列である。

また、

$$ b_1=a_2+a_1=1+2=3 $$

であるから、

$$ b_n=3\cdot 2^{n-1} $$

である。

**(2)**

（1） より

$$ \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k =3\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}2^{k-1} =3\sum_{k=0}^{n-2}(-2)^k $$

である。これは公比 $-2$ の等比数列の和だから、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k &=3\cdot \frac{1-(-2)^{n-1}}{1-(-2)}\\ &=1-(-2)^{n-1} \end{aligned} $$

となる。

**(3)**

左辺を $b_k=a_{k+1}+a_k$ に戻して書くと、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k &=\sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}(a_{k+1}+a_k)\\ &=(a_2+a_1)-(a_3+a_2)+(a_4+a_3)-\cdots+(-1)^{n-2}(a_n+a_{n-1}) \end{aligned} $$

ここで途中の項は打ち消し合うので、

$$ \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k =a_1-(-1)^{n-1}a_n $$

となる。

$a_1=2$ と （2） の結果を用いると、

$$ 2-(-1)^{n-1}a_n=1-(-2)^{n-1} $$

であるから、

$$ (-1)^{n-1}a_n=1+(-2)^{n-1} $$

よって、

$$ a_n=(-1)^{n-1}+2^{n-1} $$

となる。

**(4)**

（3） より、

$$ \frac{a_n}{a_{n+1}} =\frac{2^{n-1}+(-1)^{n-1}}{2^n+(-1)^n} $$

である。ここで $r_n=\left(-\dfrac12\right)^{n-1}$ とおくと、

$$ \frac{a_n}{a_{n+1}} =\frac{1+r_n}{2-r_n} $$

と書ける。

$r_n\to 0 , (n\to\infty)$ であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}} =\frac12 $$

となる。したがって、数列 $\left\{\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right\}$ は収束し、その極限値は $\dfrac12$ である。

解説

この問題の要点は、与えられた2項間漸化式をそのまま解こうとするのではなく、$b_n=a_{n+1}+a_n$ という補助数列を導入して構造を単純化することである。すると $b_{n+1}=2b_n$ となり、等比数列に落ちる。

さらに、$b_k$ の交代和を取ると $a_{k+1}$ と $a_k$ が順に消えていき、最後に $a_n$ が取り出せる。したがって、（2） の和の計算は （3） の一般項を得るための準備になっている。一般項が求まれば、（4） の極限は最高次の $2^{n-1}$ の寄与を見るだけで処理できる。

答え

**(1)**

${b_n}$ は公比 $2$ の等比数列であり、

$$ b_n=3\cdot 2^{n-1} $$

である。

**(2)**

$$ \sum_{k=1}^{n-1}(-1)^{k-1}b_k=1-(-2)^{n-1} $$

である。

**(3)**

$$ a_n=2^{n-1}+(-1)^{n-1} $$

である。

**(4)**

数列 $\left\{\dfrac{a_n}{a_{n+1}}\right\}$ は収束し、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac12 $$

である。