解説

方針・初手

与えられた関係式は、そのままでは $a_{n+1}$ と $a_n$ が二次的に絡んでいて扱いにくい。そこでまず $a_{n+1}$ について解く。

すると $\sqrt{4a_n+1}$ が自然に現れるので、

$$ b_n=\sqrt{4a_n+1} $$

とおくと、$b_{n+1}-b_n$ が一定になる。これにより $a_n$ の一般項が求まる。

解法1

（1） まず関係式

$$ (a_{n+1}-a_n)^2=2(a_{n+1}+a_n) $$

を $a_{n+1}$ について整理する。

$$ a_{n+1}^2-2(a_n+1)a_{n+1}+(a_n^2-2a_n)=0 $$

よって、二次方程式の解の公式より

$$ \begin{aligned} a_{n+1} &= a_n+1\pm \sqrt{(a_n+1)^2-(a_n^2-2a_n)} \\ a_n+1\pm \sqrt{4a_n+1} \end{aligned} $$

となる。

ここで条件 $a_{n+1}>a_n$ より、正の符号をとって

$$ a_{n+1}=a_n+1+\sqrt{4a_n+1} $$

である。

$a_1=2$ なので、

$$ a_2=2+1+\sqrt{9}=6 $$

さらに

$$ a_3=6+1+\sqrt{25}=12 $$

$$ a_4=12+1+\sqrt{49}=20 $$

したがって

$$ a_2=6,\quad a_3=12,\quad a_4=20 $$

である。

（2） ここで

$$ b_n=\sqrt{4a_n+1} $$

とおく。

すると

$$ a_{n+1}=a_n+1+\sqrt{4a_n+1} $$

より、

$$ \begin{aligned} 4a_{n+1}+1 &= 4a_n+5+4\sqrt{4a_n+1} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} 4a_{n+1}+1 &= \left(\sqrt{4a_n+1}+2\right)^2 \end{aligned} $$

となる。$b_n>0$ であるから両辺の正の平方根をとって

$$ b_{n+1}=b_n+2 $$

を得る。

よって ${b_n}$ は初項

$$ b_1=\sqrt{4a_1+1}=\sqrt{9}=3 $$

公差 $2$ の等差数列であるから、

$$ b_n=3+2(n-1)=2n+1 $$

となる。

したがって

$$ \sqrt{4a_n+1}=2n+1 $$

より、

$$ 4a_n+1=(2n+1)^2 $$

$$ 4a_n=4n^2+4n $$

$$ a_n=n^2+n=n(n+1) $$

である。

（3） （2） より

$$ a_n=n(n+1) $$

だから、

$$ \begin{aligned} \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n} &= \sqrt{(n+1)(n+2)}-\sqrt{n(n+1)} \end{aligned} $$

これを有理化すると、

$$ \begin{aligned} \sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n} &= \frac{(n+1)(n+2)-n(n+1)}{\sqrt{(n+1)(n+2)}+\sqrt{n(n+1)}} \\ &= \frac{2(n+1)}{\sqrt{(n+1)(n+2)}+\sqrt{n(n+1)}} \\ &= \frac{2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n}} \end{aligned} $$

ここで $n\to\infty$ とすると、分子は $2\sqrt{n}$ 程度、分母も $2\sqrt{n}$ 程度であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right)=1 $$

である。

解説

この問題の要点は、与えられた関係式をそのまま反復計算するのではなく、まず $a_{n+1}$ を $a_n$ で表し、その中に現れる $\sqrt{4a_n+1}$ に注目することである。

実際、

$$ 4a_{n+1}+1=\left(\sqrt{4a_n+1}+2\right)^2 $$

となるため、$\sqrt{4a_n+1}$ が等差数列になる。ここまで見抜ければ一般項は一気に求まる。

最後の極限は一般項を出してから処理するのが最も素直であり、差の形なので有理化が基本である。

答え

$$ \text{（1） }\ a_2=6,\quad a_3=12,\quad a_4=20 $$

$$ \text{（2） }\ a_n=n(n+1) $$

$$ \text{（3） }\ \lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{a_{n+1}}-\sqrt{a_n}\right)=1 $$