解説

方針・初手

平方根を含む漸化式は、そのままでは扱いにくいが、対数を取ると一次の漸化式に直せる。 実際、$a_1>0$ なので帰納的にすべての $a_n$ は正であり、$\log a_n$ を考えることができる。これにより一般項が求まり、極限も直ちに分かる。

解法1

$a_1>0$ であり、

$$ a_{n+1}=2\sqrt{a_n}>0 $$

であるから、すべての $n$ について $a_n>0$ である。そこで

$$ b_n=\log a_n $$

とおくと、

$$ b_{n+1}=\log a_{n+1} =\log(2\sqrt{a_n}) =\log 2+\frac12\log a_n =\log 2+\frac12 b_n $$

となる。

ここで定数項を消すために

$$ c_n=b_n-\log 4 $$

とおくと、

$$ c_{n+1} =b_{n+1}-\log 4 =\left(\log 2+\frac12 b_n\right)-2\log 2 =\frac12(b_n-\log 4) =\frac12 c_n $$

となる。したがって ${c_n}$ は等比数列であり、

$$ c_n=\left(\frac12\right)^{n-1}c_1 =\left(\frac12\right)^{n-1}\bigl(\log a_1-\log 4\bigr) $$

である。

よって

$$ b_n=\log 4+\left(\frac12\right)^{n-1}\log\frac{a_1}{4} $$

となり、

$$ a_n =e^{b_n} =4\exp\left\{\left(\frac12\right)^{n-1}\log\frac{a_1}{4}\right\} =4\left(\frac{a_1}{4}\right)^{(1/2)^{n-1}} $$

を得る。

$n\to\infty$ のとき

$$ \left(\frac12\right)^{n-1}\to 0 $$

であるから、

$$ \left(\frac{a_1}{4}\right)^{(1/2)^{n-1}}\to 1 $$

となる。したがって

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=4 $$

である。

解法2

極限値の候補を先に見る方法でも求められる。

関数

$$ f(x)=2\sqrt{x} $$

を考えると、$x>0$ に対して

$$ f(x)-x=2\sqrt{x}-x $$

の符号は、$x$ と $4$ の大小で決まる。実際、

$$ 2\sqrt{x}>x \iff 0<x<4, \qquad 2\sqrt{x}<x \iff x>4 $$

である。

さらに、

$$ 0<x<4 \Rightarrow 0<2\sqrt{x}<4, \qquad x>4 \Rightarrow 2\sqrt{x}>4 $$

も成り立つ。

したがって、初項によって次のようになる。

**(i)**

$0<a_1<4$ のとき

このとき $0<a_n<4$ がすべての $n$ で成り立ち、しかも

$$ a_{n+1}=2\sqrt{a_n}>a_n $$

であるから、${a_n}$ は単調増加で上に $4$ を上界にもつ。よって収束する。

**(ii)**

$a_1=4$ のとき

$$ a_2=2\sqrt{4}=4 $$

であり、以後ずっと $a_n=4$ である。

**(iii)**

$a_1>4$ のとき

このとき $a_n>4$ がすべての $n$ で成り立ち、しかも

$$ a_{n+1}=2\sqrt{a_n}<a_n $$

であるから、${a_n}$ は単調減少で下に $4$ を下界にもつ。よって収束する。

以上より、いずれの場合も ${a_n}$ は収束する。その極限を $L$ とすると、漸化式に極限を入れて

$$ L=2\sqrt{L} $$

を得る。これを解くと

$$ L=0,\ 4 $$

であるが、（i） では単調増加かつ $a_n\ge a_1>0$ なので $L>0$、（ii）, （iii） では明らかに $L\ge 4$ である。したがって

$$ L=4 $$

である。

解説

この問題の本質は、漸化式 $a_{n+1}=2\sqrt{a_n}$ の不動点が $4$ であり、数列がそこへ吸い寄せられることを示す点にある。

最も処理がきれいなのは、対数を取って一次の漸化式に直す方法である。この方法では一般項まで明示できる。 一方、入試では「$x$ と $2\sqrt{x}$ の大小は $x=4$ を境に変わる」と見ると、単調性と有界性で収束を示せる。この見方も典型的である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=4 $$