解説

方針・初手

与えられているのは、数列 ${a_n}$ そのものではなく、その和 $S_n$ と $a_n$ の関係である。

したがって、まず

$$ S_1=a_1 $$

を用いて $a_1$ を求め、次に

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

を使って $a_n$ の漸化式を作るのが自然である。漸化式が得られれば、定数項を消すために平行移動して一般項を求める。

解法1

**(1)**

$n=1$ のとき、$S_1=a_1$ であるから、条件

$$ S_1=\frac13 a_1-1 $$

より

$$ a_1=\frac13 a_1-1 $$

となる。これを解くと

$$ \frac23 a_1=-1 $$

$$ a_1=-\frac32 $$

である。

次に、$S_{n+1}-S_n=a_{n+1}$ を用いる。

条件より

$$ S_{n+1}=\frac13 a_{n+1}-(n+1), \qquad S_n=\frac13 a_n-n $$

であるから、

$$ a_{n+1}=S_{n+1}-S_n =\left(\frac13 a_{n+1}-(n+1)\right)-\left(\frac13 a_n-n\right) $$

$$ a_{n+1}=\frac13(a_{n+1}-a_n)-1 $$

これを整理すると

$$ 3a_{n+1}=a_{n+1}-a_n-3 $$

$$ 2a_{n+1}=-a_n-3 $$

$$ a_{n+1}=-\frac12 a_n-\frac32 $$

したがって、

$$ a_1=-\frac32,\qquad a_{n+1}=-\frac12 a_n-\frac32 $$

である。

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（2） 漸化式

$$ a_{n+1}=-\frac12 a_n-\frac32 $$

の定数項を消すために、

$$ b_n=a_n+1 $$

とおく。すると

$$ b_{n+1}=a_{n+1}+1 =-\frac12 a_n-\frac32+1 =-\frac12(a_n+1) =-\frac12 b_n $$

となる。

また、

$$ b_1=a_1+1=-\frac32+1=-\frac12 $$

であるから、${b_n}$ は初項 $-\dfrac12$、公比 $-\dfrac12$ の等比数列である。よって

$$ b_n=\left(-\frac12\right)^n $$

したがって

$$ a_n=b_n-1=\left(-\frac12\right)^n-1 $$

である。

---

**(3)**

$$ a_n=\left(-\frac12\right)^n-1 $$

より、$n\to\infty$ のとき

$$ \left(-\frac12\right)^n \to 0 $$

だから

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=-1 $$

である。

解説

この問題の要点は、和 $S_n$ に関する条件から数列 ${a_n}$ の漸化式を作ることである。そのためには

$$ S_{n+1}-S_n=a_{n+1} $$

を使うのが基本である。

また、得られた漸化式は定数項を含む一次漸化式なので、平衡点 $-1$ を見つけて $a_n+1$ と置けば等比数列に帰着できる。一次漸化式の典型処理として重要である。

答え

**(1)**

$$ \text{[ア]}=-\frac32,\qquad \text{[イ]}=-\frac12,\qquad \text{[ウ]}=\frac32 $$

すなわち

$$ a_1=-\frac32,\qquad a_{n+1}=-\frac12 a_n-\frac32 $$

**(2)**

$$ a_n=\left(-\frac12\right)^n-1 $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=-1 $$