解説

方針・初手

この漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)

$$

は、$a_n$ を $1$ または $-1$ に近づける形をしている。

（1） では

$$ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1}

$$

とおくと、漸化式が二乗の形に簡単になる。

（2） ではその結果から $b_n$ の極限を調べ、最後に $a_n$ に戻して極限を求める。なお $x=-1$ のときは別に扱う。

解法1

（1） まず、$x\neq -1$ とする。

このとき $a_n=-1$ となることが途中で起こらないことを確認しておく。

実際、

$$ a_{n+1}=-1 \iff \frac{1}{2}\left(a_n+\frac{1}{a_n}\right)=-1 \iff a_n+\frac{1}{a_n}=-2

$$

より、

$$ a_n^2+1=-2a_n \iff (a_n+1)^2=0 \iff a_n=-1

$$

である。したがって、$a_{n+1}=-1$ なら $a_n=-1$ である。初項が $a_1=x\neq -1$ だから、すべての $n$ について $a_n\neq -1$ であり、$b_n$ は常に定義される。

そこで

$$ b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}

$$

を計算する。

$$ a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} b_{n+1} &=\frac{\frac{a_n^2+1}{2a_n}-1}{\frac{a_n^2+1}{2a_n}+1} \\ &=\frac{a_n^2-2a_n+1}{a_n^2+2a_n+1} \\ &=\left(\frac{a_n-1}{a_n+1}\right)^2 \\ &=b_n^2 \end{aligned}

$$

となる。よって

$$ b_{n+1}=b_n^2

$$

である。

また、

$$ b_1=\frac{a_1-1}{a_1+1}=\frac{x-1}{x+1}

$$

であるから、

$$ b_n=b_1^{,2^{n-1}} =\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2^{n-1}}

$$

を得る。

---

（2） 数列 ${a_n}$ の極限を求める。

$ x\neq -1$ のとき、$b_n=\dfrac{a_n-1}{a_n+1}$ より $a_n$ を $b_n$ で表すと、

$$ a_n=\frac{1+b_n}{1-b_n}

$$

である。

ここで場合分けする。

**(i)**

$x>0$ のとき

$$ -1<\frac{x-1}{x+1}<1

$$

であるから、

$$ b_n=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2^{n-1}}\to 0 \qquad (n\to\infty)

$$

となる。したがって、

$$ a_n=\frac{1+b_n}{1-b_n}\to \frac{1+0}{1-0}=1

$$

である。

**(ii)**

$x<0,\ x\neq -1$ のとき

$$ \left|\frac{x-1}{x+1}\right|>1

$$

である。よって $2^{n-1}$ 乗を考えると、

$$ b_n=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2^{n-1}}\to +\infty \qquad (n\to\infty)

$$

となる。

このとき

$$ a_n=\frac{1+b_n}{1-b_n} =-1-\frac{2}{b_n-1}

$$

であるから、

$$ a_n\to -1

$$

を得る。

**(iii)**

$x=-1$ のとき

初項 $a_1=-1$ であり、

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(-1+\frac{1}{-1}\right)=-1

$$

であるから、${a_n}$ は定数列 $-1,-1,-1,\dots$ である。したがって極限は $-1$ である。

以上より、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n= \begin{cases} 1 & (x>0),\\ -1 & (x<0) \end{cases}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、漸化式そのものを直接追うのではなく、

$$ b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1}

$$

という変換を入れて

$$ b_{n+1}=b_n^2

$$

まで落とすことである。こうなると $b_n$ は初項の $2^{n-1}$ 乗で表せるため、極限判定は $ \left|\dfrac{x-1}{x+1}\right| $ が $1$ より小さいか大きいかを見るだけで済む。

$x>0$ なら $1$ に、$x<0$ なら $-1$ に収束するという符号による分岐が本質である。

答え

**(1)**

$$ b_{n+1}=b_n^2

$$

したがって、

$$ b_n=\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2^{n-1}} \qquad (x\neq -1)

$$

である。

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n= \begin{cases} 1 & (x>0),\\ -1 & (x<0) \end{cases}

$$

である。特に $x=-1$ のときは $a_n=-1$ で一定である。