解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_{n+2}$ を $a_{n+1},a_n$ で表す2項間漸化式であるが、問題文で階差数列 $b_n=a_{n+1}-a_n$ を導入するよう指示されている。

実際に $a_{n+2}-a_{n+1}$ を計算すると、$b_n$ が等比数列になる。そこでまず $b_n$ の一般項を求め、最後に

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

として $a_n$ を復元するのが自然である。

解法1

（1） まず漸化式をそのまま用いて $a_3,a_4,a_5$ を求める。

$a_1=0,\ a_2=1$ より、

$$ a_3=(1-\alpha)a_2+\alpha a_1=(1-\alpha)\cdot 1+\alpha\cdot 0=1-\alpha $$

次に、

$$ \begin{aligned} a_4&=(1-\alpha)a_3+\alpha a_2\\ &=(1-\alpha)(1-\alpha)+\alpha\\ &=1-\alpha+\alpha^2 \end{aligned} $$

さらに、

$$ \begin{aligned} a_5&=(1-\alpha)a_4+\alpha a_3\\ &=(1-\alpha)(1-\alpha+\alpha^2)+\alpha(1-\alpha)\\ &=1-\alpha+\alpha^2-\alpha^3 \end{aligned} $$

したがって、

$$ a_3=1-\alpha,\qquad a_4=1-\alpha+\alpha^2,\qquad a_5=1-\alpha+\alpha^2-\alpha^3 $$

**(2)**

$b_n=a_{n+1}-a_n$ とおく。

このとき、

$$ \begin{aligned} b_{n+1}&=a_{n+2}-a_{n+1}\\ &=\bigl((1-\alpha)a_{n+1}+\alpha a_n\bigr)-a_{n+1}\\ &=-\alpha(a_{n+1}-a_n)\\ &=-\alpha b_n \end{aligned} $$

よって ${b_n}$ は初項 $b_1$、公比 $-\alpha$ の等比数列である。

初項は

$$ b_1=a_2-a_1=1-0=1 $$

であるから、

$$ b_n=(-\alpha)^{n-1}\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

**(3)**

$a_n$ は階差数列を用いて復元できる。

$$ a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

ここで $a_1=0,\ b_k=(-\alpha)^{k-1}$ であるから、

$$ a_n=\sum_{k=1}^{n-1}(-\alpha)^{k-1} $$

これは初項 $1$、公比 $-\alpha$ の等比数列の和なので、

$$ a_n=\frac{1-(-\alpha)^{,n-1}}{1-(-\alpha)} =\frac{1-(-\alpha)^{,n-1}}{1+\alpha} \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

これが ${a_n}$ の一般項である。

**(4)**

$0<\alpha<1$ より $|-\alpha|<1$ であるから、

$$ (-\alpha)^{n-1}\to 0 \qquad (n\to\infty) $$

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n =\lim_{n\to\infty}\frac{1-(-\alpha)^{,n-1}}{1+\alpha} =\frac{1}{1+\alpha} $$

これが $\dfrac23$ になる条件は、

$$ \frac{1}{1+\alpha}=\frac23 $$

より、

$$ 3=2(1+\alpha) $$

すなわち、

$$ 2\alpha=1 $$

であるから、

$$ \alpha=\frac12 $$

解説

この問題の要点は、もとの漸化式をそのまま解こうとするよりも、階差 $a_{n+1}-a_n$ に注目することである。

実際、

$$ a_{n+2}-a_{n+1}=-\alpha(a_{n+1}-a_n) $$

となり、階差数列がただちに等比数列になる。ここまで見えれば、あとはその和として $a_n$ を求めるだけである。

2項間漸化式でも、差や比を取ることで1項間の扱いやすい漸化式に落とせることがある。この問題はその典型例である。

答え

**(1)**

$$ a_3=1-\alpha,\qquad a_4=1-\alpha+\alpha^2,\qquad a_5=1-\alpha+\alpha^2-\alpha^3 $$

**(2)**

$$ b_n=(-\alpha)^{n-1}\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

**(3)**

$$ a_n=\frac{1-(-\alpha)^{,n-1}}{1+\alpha}\qquad (n=1,2,3,\dots) $$

**(4)**

$$ \alpha=\frac12 $$