解説

方針・初手

線分 $AB$ の長さが $1$ であり、$a_n=AP_n$ とおかれているので、$A$ を $0$、$B$ を $1$ とみなして数直線上で考えるのが自然である。

すると、$P_n$ の位置は $a_n$、$Q_n$ は $P_nB$ の中点、$P_{n+1}$ は $AQ_n$ の中点であるから、まず漸化式を求める。その後、（2） と （3） はいずれも数学的帰納法で示し、最後ははさみうちで極限を求める。

解法1

$A$ を $0$、$B$ を $1$ とする数直線上で考える。

このとき、点 $P_n$ の座標は $a_n$ である。

（1） $a_{n+1}$ を $a_n$ で表す

$Q_n$ は線分 $P_nB$ の中点であるから、その座標は

$$ \frac{a_n+1}{2} $$

である。

さらに、$P_{n+1}$ は線分 $AQ_n$ の中点であるから、その座標、すなわち $a_{n+1}$ は

$$ a_{n+1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{a_n+1}{2}=\frac{a_n+1}{4} $$

となる。

したがって、

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{4} $$

である。

（2） すべての自然数 $n$ について $a_n<\dfrac13$ を示す

数学的帰納法を用いる。

**(i)**

$n=1$ のとき

問題の条件より

$$ \frac14<a_1<\frac13 $$

であるから、確かに $a_1<\dfrac13$ である。

**(ii)**

$n=k$ で成り立つと仮定する

ある自然数 $k$ について

$$ a_k<\frac13 $$

と仮定する。

このとき、（1） の結果より

$$ a_{k+1}=\frac{a_k+1}{4} $$

であるから、

$$ a_{k+1}<\frac{\frac13+1}{4} =\frac{\frac43}{4} =\frac13 $$

となる。

よって、$a_k<\dfrac13$ ならば $a_{k+1}<\dfrac13$ である。

以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n<\frac13 $$

が成り立つ。

（3） すべての自然数 $n$ について $a_n>S_n$ を示す

$$ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} $$

とする。

これも数学的帰納法で示す。

**(i)**

$n=1$ のとき

$$ S_1=\frac14 $$

であり、問題の条件より

$$ a_1>\frac14=S_1 $$

となるので成り立つ。

**(ii)**

$n=k$ で成り立つと仮定する

ある自然数 $k$ について

$$ a_k>S_k $$

と仮定する。

このとき、（1） の結果より

$$ a_{k+1}=\frac{a_k+1}{4} $$

であるから、

$$ a_{k+1}>\frac{S_k+1}{4} $$

となる。

ここで、

$$ \frac{S_k+1}{4} =\frac14+\frac{S_k}{4} =\frac14+\sum_{j=2}^{k+1}\frac{1}{4^j} =\sum_{j=1}^{k+1}\frac{1}{4^j} =S_{k+1} $$

である。

したがって、

$$ a_{k+1}>S_{k+1} $$

が成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって、すべての自然数 $n$ について

$$ a_n>S_n $$

が成り立つ。

（4） $\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n$ を求める

（2）、（3） より、すべての自然数 $n$ について

$$ S_n<a_n<\frac13 $$

である。

一方、$S_n$ は初項 $\dfrac14$、公比 $\dfrac14$ の等比数列の和であるから、

$$ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{4^k} =\frac{\frac14\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)}{1-\frac14} =\frac13\left(1-\left(\frac14\right)^n\right) $$

である。したがって、

$$ \lim_{n\to\infty} S_n=\frac13 $$

となる。

よって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=\frac13 $$

である。

解説

この問題の中心は、点の中点操作を座標で表すことである。図形のまま追うよりも、$A=0,\ B=1$ と置いて $P_n$ の位置を数値化すると、漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{4} $$

が直ちに得られる。

（2） は上からの評価、（3） は下からの評価であり、どちらも漸化式に帰着して数学的帰納法で処理できる。特に （3） では

$$ \frac{S_k+1}{4}=S_{k+1} $$

という変形に気づけるかが重要である。

最後は

$$ S_n<a_n<\frac13,\qquad S_n\to\frac13 $$

を用いて、$a_n$ も同じ極限 $\dfrac13$ をもつと結論できる。

答え

**(1)**

$$ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{4} $$

**(2)**

すべての自然数 $n$ について

$$ a_n<\frac13 $$

**(3)**

すべての自然数 $n$ について

$$ a_n>S_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{4^k} $$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=\frac13 $$