解説

方針・初手

まず $4^n-1$ が $15=3\cdot 5$ の倍数になる条件を、$3$ と $5$ についてそれぞれ調べる。

その結果から、（1） で得られる数列 $a_k$ を明示できる。すると （2） の条件 $a_k\leqq \log_4 x\leqq a_{k+1}$ は、$x$ の範囲に直せるので、あとはその区間にある $3$ の倍数の和を等差数列の和として求めればよい。

解法1

**(1)**

$4\equiv 1\pmod{3}$ であるから、

$$ 4^n-1\equiv 1^n-1\equiv 0\pmod{3}

$$

となり、$4^n-1$ は常に $3$ の倍数である。

したがって、$15$ の倍数となるためには $5$ の倍数でもあればよい。

ここで $4\equiv -1\pmod{5}$ より、

$$ 4^n-1\equiv (-1)^n-1\pmod{5}

$$

である。

これが $0\pmod{5}$ となるのは

$$ (-1)^n=1

$$

すなわち $n$ が偶数のときである。

よって、求める $n$ は

$$ n=2,4,6,\dots

$$

である。

したがって、小さい順に並べた数列 ${a_k}$ は

$$ a_k=2k

$$

となる。

**(2)**

$a_k=2k,\ a_{k+1}=2k+2$ であるから、

$$ a_k\leqq \log_4 x\leqq a_{k+1}

$$

は

$$ 2k\leqq \log_4 x\leqq 2k+2

$$

と同値であり、さらに

$$ 4^{2k}\leqq x\leqq 4^{2k+2}

$$

と同値である。

よって

$$ A_k={x\in \mathbb{N}\mid 4^{2k}\leqq x\leqq 4^{2k+2}}

$$

である。

この区間に含まれる $3$ の倍数を考える。 $4^2=16\equiv 1\pmod{3}$ より、

$$ 4^{2k}\equiv 1\pmod{3},\qquad 4^{2k+2}\equiv 1\pmod{3}

$$

である。

したがって、$A_k$ に属する最小の $3$ の倍数は $4^{2k}+2$、最大の $3$ の倍数は $4^{2k+2}-1$ である。

よって、それらは公差 $3$ の等差数列

$$ 4^{2k}+2,\ 4^{2k}+5,\ \dots,\ 4^{2k+2}-1

$$

をなす。

その項数は

$$ \frac{(4^{2k+2}-1)-(4^{2k}+2)}{3}+1 =\frac{4^{2k+2}-4^{2k}}{3}

$$

である。

したがって、和 $S_k$ は

$$ \begin{aligned} S_k &= \frac{1}{2}\cdot \frac{4^{2k+2}-4^{2k}}{3}\cdot {(4^{2k}+2)+(4^{2k+2}-1)} \\ &= \frac{(4^{2k+2}-4^{2k})(4^{2k+2}+4^{2k}+1)}{6} \end{aligned} $$

である。

ここで $4^{2k+2}=16\cdot 4^{2k}$ を用いると、

$$ \begin{aligned} S_k &= \frac{15\cdot 4^{2k}(17\cdot 4^{2k}+1)}{6} \\ &= \frac{5}{2}4^{2k}(17\cdot 4^{2k}+1) \end{aligned} $$

となる。

さらに整理すると、

$$ S_k=\frac{85}{2}4^{4k}+\frac{5}{2}4^{2k}

$$

である。

**(3)**

（2） の結果を用いると、

$$ \frac{S_k}{4^{4k}} = \frac{\frac{85}{2}4^{4k}+\frac{5}{2}4^{2k}}{4^{4k}} = \frac{85}{2}+\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{4^{2k}} $$

である。

$k\to\infty$ のとき $\dfrac{1}{4^{2k}}\to 0$ であるから、

$$ \lim_{k\to\infty}\frac{S_k}{4^{4k}}=\frac{85}{2}

$$

となる。

解説

この問題の本質は、（1） で合同式を用いて周期性を見ることにある。

$4^n-1$ の $3$ に関する条件は自動的に満たされるので、実質的には $5$ で割り切れる条件、すなわち $4\equiv -1\pmod{5}$ を使って偶奇を判定する問題になる。

また （2） では、$\log_4 x$ の不等式をそのまま扱うのではなく、$x$ の範囲に直すのが基本である。すると区間内の $3$ の倍数の和は、初項・末項・項数を押さえて等差数列の和として処理できる。

答え

**(1)**

$$ n=2,4,6,\dots

$$

すなわち、$n$ はすべての偶数である。

**(2)**

$$ a_k=2k

$$

であり、

$$ \begin{aligned} S_k &= \frac{(4^{2k+2}-4^{2k})(4^{2k+2}+4^{2k}+1)}{6} \\ &= \frac{5}{2}4^{2k}(17\cdot 4^{2k}+1) \end{aligned} $$

である。

**(3)**

$$ \lim_{k\to\infty}\frac{S_k}{4^{4k}}=\frac{85}{2}

$$