解説

方針・初手

与えられた関係式

$$ S_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2n}{a_n}\right) $$

に対して，$S_n=S_{n-1}+a_n$ を代入すると，$a_n$ と $S_n+S_{n-1}$ の積が簡単になる。これにより

$$ S_n^2-S_{n-1}^2=(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}) $$

を直接求めることができる。まずここを作るのが初手である。

解法1

（1） まず $n=1$ のときを考える。

$S_1=a_1$ であるから，与式より

$$ a_1=\frac{1}{2}\left(a_1+\frac{2}{a_1}\right) $$

となる。両辺を $2a_1$ 倍すると

$$ 2a_1^2=a_1^2+2 $$

ゆえに

$$ a_1^2=2 $$

である。各項は正であるから $a_1>0$ なので，

$$ a_1=\sqrt{2} $$

したがって

$$ S_1=\sqrt{2} $$

である。

次に $n\geq 2$ とする。$S_n=S_{n-1}+a_n$ を与式に代入すると

$$ S_{n-1}+a_n=\frac{1}{2}\left(a_n+\frac{2n}{a_n}\right) $$

であるから，

$$ 2S_{n-1}+2a_n=a_n+\frac{2n}{a_n} $$

すなわち

$$ 2S_{n-1}+a_n=\frac{2n}{a_n} $$

を得る。ここで

$$ S_n+S_{n-1}=(S_{n-1}+a_n)+S_{n-1}=2S_{n-1}+a_n $$

であるから，

$$ S_n+S_{n-1}=\frac{2n}{a_n} $$

となる。また

$$ S_n-S_{n-1}=a_n $$

であるので，

$$ S_n^2-S_{n-1}^2=(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}) =a_n\cdot \frac{2n}{a_n}=2n $$

が成り立つ。

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（2） （1） で得た結果を用いる。

$S_1^2=2$ であり，また $n\geq 2$ について

$$ S_n^2-S_{n-1}^2=2n $$

であるから，これを $2$ から $n$ まで足し合わせると

$$ S_n^2-S_1^2=\sum_{k=2}^{n}2k $$

となる。よって

$$ S_n^2=2+\sum_{k=2}^{n}2k =2+2\left(\frac{n(n+1)}{2}-1\right) =n(n+1) $$

である。

$S_n$ は正の項の和であるから $S_n>0$ であり，

$$ S_n=\sqrt{n(n+1)} $$

を得る。

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**(3)**

$n\geq 2$ では

$$ a_n=S_n-S_{n-1} $$

より，

$$ a_n=\sqrt{n(n+1)}-\sqrt{(n-1)n} $$

となる。ここで $\sqrt{n}$ をくくると

$$ a_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right) $$

を得る。

$n=1$ のときも，

$$ \sqrt{1}\left(\sqrt{2}-\sqrt{0}\right)=\sqrt{2}=a_1 $$

であるから，結局すべての $n=1,2,3,\dots$ について

$$ a_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right) $$

が成り立つ。

さらに，分母を有理化すると

$$ a_n =\sqrt{n}\cdot \frac{(n+1)-(n-1)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} =\frac{2\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1}} $$

である。分子・分母を $\sqrt{n}$ で割れば

$$ a_n=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}} $$

となるので，$n\to\infty$ とすると

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=\frac{2}{1+1}=1 $$

である。

解説

この問題の要点は，与式をそのまま眺めるのではなく，$S_n=S_{n-1}+a_n$ を代入して

$$ S_n+S_{n-1}=\frac{2n}{a_n} $$

を作ることである。これにより

$$ S_n^2-S_{n-1}^2=(S_n-S_{n-1})(S_n+S_{n-1}) $$

がただちに $2n$ となり，$S_n^2$ が等差的に増えることが分かる。すると $S_n$ が明示でき，最後に $a_n=S_n-S_{n-1}$ で一般項が求まる。$a_n$ を直接求めようとすると複雑になりやすいので，まず和 $S_n$ を押さえるのが有効である。

答え

**(1)**

$$ S_1=\sqrt{2},\qquad S_n^2-S_{n-1}^2=2n\quad (n=2,3,4,\dots) $$

**(2)**

$$ S_n=\sqrt{n(n+1)}\quad (n=1,2,3,\dots) $$

**(3)**

$$ a_n=\sqrt{n}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}\right)\quad (n=1,2,3,\dots) $$

および

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=1 $$