解説

方針・初手

$f(x)=2^{x/2}$ と直線 $y=x$ の位置関係を調べる。

特に区間 $[1,2)$ で

$$ f(x)>x,\qquad f(x)<2

$$

を示せば，数列 ${a_n}$ が単調増加で常に $2$ 未満であることが同時に分かる。

後半は不動点 $f(x)=x$ を求め，さらに平均値の定理を用いて誤差 $\alpha-a_n$ の評価を与える。

解法1

**(1), (2)**

$$ g(x)=f(x)-x=2^{x/2}-x

$$

とおく。

まず $1\leqq x\leqq 2$ では

$$ g'(x)=\frac{\log 2}{2}2^{x/2}-1

$$

であり，$2^{x/2}\leqq 2$ だから

$$ g'(x)\leqq \frac{\log 2}{2}\cdot 2-1=\log 2-1<0

$$

となる。よって $g(x)$ は $[1,2]$ で単調減少する。

しかも

$$ g(2)=2^{2/2}-2=0

$$

であるから，$1\leqq x<2$ なら

$$ g(x)>g(2)=0

$$

すなわち

$$ f(x)>x

$$

が成り立つ。

また $x<2$ なら $x/2<1$ だから

$$ f(x)=2^{x/2}<2

$$

である。

ここで帰納法を用いる。

$a_1=1$ だから $1\leqq a_1<2$ である。

いま $1\leqq a_n<2$ と仮定すると，上で示したことより

$$ a_{n+1}=f(a_n)>a_n

$$

かつ

$$ a_{n+1}=f(a_n)<2

$$

である。したがって

$$ 1\leqq a_{n+1}<2

$$

も成り立つ。

よってすべての $n$ について

$$ 1\leqq a_n<2

$$

であり，さらに

$$ a_n<a_{n+1}

$$

が成り立つ。

これで （1） と （2） が示された。

**(3)**

$f(x)=x$ を満たす実数 $x$ を求める。

方程式

$$ 2^{x/2}=x

$$

において $x=2y$ とおくと

$$ 2^y=2y

$$

となる。そこで

$$ q(y)=2^y-2y

$$

とおくと，

$$ q'(y)=(\log 2)2^y-2,\qquad q''(y)=(\log 2)^2 2^y>0

$$

であるから，$q'(y)$ は単調増加する。したがって $q(y)$ は極値を高々1つしかもたず，零点を高々2つしかもたない。

一方，

$$ q(1)=2-2=0,\qquad q(2)=4-4=0

$$

であるから，零点はちょうど $y=1,2$ である。

よって

$$ x=2y=2,4

$$

である。

**(4)**

$f(\alpha)=\alpha$ とする。このとき （3） より

$$ \alpha=2\ \text{または}\ 4

$$

である。また （2） より常に $a_n<2$ だから

$$ a_n<\alpha

$$

が成り立つ。

そこで区間 $[a_n,\alpha]$ に平均値の定理を適用すると，ある $c_n$ が存在して

$$ a_n<c_n<\alpha

$$

かつ

$$ f(\alpha)-f(a_n)=f'(c_n)(\alpha-a_n)

$$

となる。$f(\alpha)=\alpha,\ f(a_n)=a_{n+1}$ だから

$$ \alpha-a_{n+1}=f'(c_n)(\alpha-a_n)

$$

である。

ここで

$$ f'(x)=\frac{\log 2}{2}2^{x/2}

$$

は単調増加するので，$c_n<\alpha$ から

$$ f'(c_n)<f'(\alpha)

$$

である。さらに $f(\alpha)=\alpha$ より $2^{\alpha/2}=\alpha$ だから

$$ f'(\alpha)=\frac{\log 2}{2}2^{\alpha/2} =\frac{\alpha\log 2}{2}

$$

となる。

したがって

$$ \alpha-a_{n+1} <f'(\alpha)(\alpha-a_n) =\frac{\alpha\log 2}{2}(\alpha-a_n)

$$

が成り立つ。

**(5)**

（1） と （2） により，${a_n}$ は単調増加で上に有界である。よって極限をもち，

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=L

$$

とおける。

$f(x)=2^{x/2}$ は連続だから，漸化式 $a_{n+1}=f(a_n)$ の両辺で極限をとると

$$ L=f(L)

$$

すなわち $L$ は不動点である。

（3） より不動点は $2,4$ のみである。一方 （2） より $a_n<2$ だから

$$ L\leqq 2

$$

である。よって

$$ L=2

$$

となる。

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2

$$

である。

解説

この問題の要点は，$f(x)=2^{x/2}$ と $y=x$ の位置関係を見ることである。

区間 $[1,2)$ で $f(x)>x$ かつ $f(x)<2$ を示せば，数列が「増加しながら $2$ に近づく」ことがすぐに分かる。したがって （1） と （2） は別々に処理するより，同時に示すのが自然である。

また （4） は，不動点 $\alpha$ からのずれ $\alpha-a_n$ を平均値の定理で評価する問題である。これは単なる収束の証明ではなく，どの程度の速さで不動点に近づくかを見る典型的な処理である。

答え

**(1)**

$$ a_n<a_{n+1}\qquad (n=1,2,\dots)

$$

**(2)**

$$ a_n<2\qquad (n=1,2,\dots)

$$

**(3)**

$$ f(x)=x

$$

を満たす実数 $x$ は

$$ x=2,\ 4

$$

である。

**(4)**

$f(\alpha)=\alpha$ のとき

$$ \alpha-a_{n+1}<\frac{\alpha\log 2}{2}(\alpha-a_n) \qquad (n=1,2,\dots)

$$

が成り立つ。

**(5)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=2

$$