解説

方針・初手

関数 $f(x)$ は

$$ f(x)=rx+q $$

であるから，数列 ${a_n}$ は

$$ a_1=rp+q,\qquad a_n=ra_{n-1}+q\quad (n\geqq 2) $$

を満たす一次の漸化式である。まず数項を具体的に計算し，その後は漸化式 $\displaystyle a_n=ra_{n-1}+q$ の一般解を求める。 （3） は極限値と各項がすべて等しいという条件なので，数列が一定であることに着目する。

解法1

まず

$$ a_1=rp+q $$

である。

したがって

$$ a_2=ra_1+q=r(rp+q)+q=r^2p+rq+q $$

さらに

$$ a_3=ra_2+q=r(r^2p+rq+q)+q=r^3p+r^2q+rq+q $$

よって，

$$ a_3=r^3p+(r^2+r+1)q $$

である。

次に一般項を求める。

漸化式

$$ a_n=ra_{n-1}+q $$

の形から，まず $r\neq 1$ のときを考える。定数 $\alpha$ を用いて

$$ a_n-\alpha=r(a_{n-1}-\alpha) $$

となるようにしたい。これが成り立つには

$$ ra_{n-1}+q-\alpha=r(a_{n-1}-\alpha) $$

すなわち

$$ q-\alpha=-r\alpha $$

であればよいから，

$$ \alpha=\frac{q}{1-r} $$

と取ればよい。

このとき

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{q}{1-r} &= r\left(a_{n-1}-\frac{q}{1-r}\right) \end{aligned} $$

となるので，

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{q}{1-r} &= r^{,n-1}\left(a_1-\frac{q}{1-r}\right) \end{aligned} $$

である。ここで

$$ a_1=rp+q $$

より，

$$ \begin{aligned} a_1-\frac{q}{1-r} &= rp+q-\frac{q}{1-r} \\ r\left(p-\frac{q}{1-r}\right) \end{aligned} $$

だから，

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{q}{1-r} &= r^n\left(p-\frac{q}{1-r}\right) \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} a_n &= r^n\left(p-\frac{q}{1-r}\right)+\frac{q}{1-r} \end{aligned} $$

すなわち

$$ a_n=r^np+\frac{r^n-1}{r-1}q \qquad (r\neq 1) $$

である。

一方，$r=1$ のときは

$$ a_n=a_{n-1}+q $$

となるから，等差数列であり，

$$ a_n=p+nq $$

である。

最後に （3） を考える。

条件 「任意の $n$ について $\displaystyle \lim_{k\to\infty}a_k=a_n$」 は，極限値がどの項 $a_n$ とも等しいということである。したがって数列 ${a_n}$ のすべての項が同じ値でなければならない。つまり，${a_n}$ は一定数列である。

$a_n=c$ がすべての $n$ で成り立つとすると，漸化式より

$$ c=rc+q $$

であるから，

$$ c=\frac{q}{1-r} $$

である。

さらに $a_1=f(p)=rp+q$ もこの値に等しいので，

$$ rp+q=\frac{q}{1-r} $$

より

$$ rp=\frac{qr}{1-r} $$

したがって

$$ p=\frac{q}{1-r} $$

である。

ただし $p$ は正の実数であるから，

$$ \frac{q}{1-r}>0 $$

が必要である。$q>0$ より

$$ 1-r>0 $$

すなわち

$$ 0<r<1 $$

でなければならない。

よって求める $p$ は

$$ p=\frac{q}{1-r}\qquad (0<r<1) $$

である。

解説

この問題の本質は，一次変換 $f(x)=rx+q$ を繰り返し作用させたときの数列を扱っている点にある。

一般項では，固定点

$$ x=rx+q $$

を満たす値 $\displaystyle \frac{q}{1-r}$ を用いて

$$ \begin{aligned} a_n-\frac{q}{1-r} &= r\left(a_{n-1}-\frac{q}{1-r}\right) \end{aligned} $$

という等比型に直すのが典型的な処理である。

また （3） では，極限値とすべての項が一致するという条件から，結局は一定数列を考えればよい。単に極限が存在する条件を調べる問題ではない点に注意が必要である。

答え

$$ \text{（1） }\ a_3=r^3p+(r^2+r+1)q $$

$$ \text{（2） }\ \begin{cases} a_n=r^np+\dfrac{r^n-1}{r-1}q & (r\neq 1),\\[1.2ex] a_n=p+nq & (r=1) \end{cases} $$

$$ \text{（3） }\ 0<r<1\ \text{のとき}\ p=\dfrac{q}{1-r} $$

それ以外の場合，条件を満たす正の実数 $p$ は存在しない。