解説

方針・初手

この漸化式は

$$ a_{n+1}=\sqrt{2a_n+4} $$

という形であり、極限が存在するなら、その極限値 $\alpha$ は

$$ \alpha=\sqrt{2\alpha+4} $$

を満たすはずである。

ただし、これだけでは不十分である。まず数列 ${a_n}$ が実際に収束することを、単調性と有界性で示す。

解法1

極限候補を先に求めると、

$$ \alpha=\sqrt{2\alpha+4} $$

より、両辺を2乗して

$$ \alpha^2-2\alpha-4=0 $$

となる。これを解くと

$$ \alpha=1\pm\sqrt{5} $$

である。

ここで $a_1=0,\ a_{n+1}=\sqrt{2a_n+4}\geq 0$ であるから、数列の値はすべて $0$ 以上である。したがって、極限があるなら候補は

$$ \alpha=1+\sqrt{5} $$

である。

次に、この数列が実際にそこへ収束することを示す。

まず

$$ L=1+\sqrt{5} $$

とおく。

1. 上から $L$ で抑えられること

$a_1=0<L$ である。

いま $a_n\leq L$ と仮定すると、

$$ a_{n+1}=\sqrt{2a_n+4}\leq \sqrt{2L+4} $$

である。ところが $L=1+\sqrt{5}$ は方程式

$$ x^2-2x-4=0 $$

の解であるから、

$$ L^2=2L+4 $$

が成り立つ。よって

$$ a_{n+1}\leq \sqrt{L^2}=L $$

となる。

したがって、数学的帰納法により

$$ 0\leq a_n\leq L \qquad (n=1,2,3,\dots) $$

である。

2. 単調増加であること

$0\leq a_n\leq L$ のとき、

$$ a_{n+1}\geq a_n $$

を示せばよい。

これは

$$ \sqrt{2a_n+4}\geq a_n $$

と同値であり、両辺とも $0$ 以上なので2乗して

$$ 2a_n+4\geq a_n^2 $$

すなわち

$$ a_n^2-2a_n-4\leq 0 $$

となる。

ここで

$$ a_n^2-2a_n-4=(a_n-(1-\sqrt{5}))(a_n-(1+\sqrt{5})) $$

であり、$0\leq a_n\leq 1+\sqrt{5}$ だから確かに

$$ a_n^2-2a_n-4\leq 0 $$

が成り立つ。よって

$$ a_{n+1}\geq a_n $$

である。

したがって、${a_n}$ は上に有界な単調増加数列であるから収束する。

3. 極限値の決定

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ とおくと、漸化式より

$$ \alpha=\sqrt{2\alpha+4} $$

である。したがって

$$ \alpha^2-2\alpha-4=0 $$

より

$$ \alpha=1\pm\sqrt{5} $$

を得る。

しかし $a_n\geq 0$ であるから $\alpha\geq 0$ であり、

$$ \alpha=1+\sqrt{5} $$

である。

解説

この問題の要点は、「極限方程式を解く」こと自体よりも、その前に数列が本当に収束することを示す点にある。

この型では、まず極限候補 $L$ を求め、その $L$ を使って

• $a_n\leq L$ を示す
• $a_{n+1}\geq a_n$ を示す

という流れが典型である。極限候補がそのまま上界として使えるのが重要である。

答え

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=1+\sqrt{5} $$

である。発散はしない。