解説

方針・初手

（1） は倍角公式

$$ \tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} $$

を用いればよい。

（2） は （1） を $n\mapsto n-1$ として用いると，各項 $\dfrac{a_n}{2^n}$ が差の形に変形でき，和が望ましく整理される。

解法1

**(1)**

$$ x=\frac{\pi}{2^{n+2}} $$

とおくと，

$$ a_{n+1}=\tan x,\qquad a_n=\tan 2x $$

である。

ここで倍角公式より，

$$ a_n=\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x} =\frac{2a_{n+1}}{1-a_{n+1}^2} $$

となる。したがって，

$$ \frac{2}{a_n} =\frac{1-a_{n+1}^2}{a_{n+1}} =\frac{1}{a_{n+1}}-a_{n+1} $$

であるから，

$$ a_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{2}{a_n} $$

が成り立つ。

**(2)**

部分和を

$$ S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{a_n}{2^n} $$

とおく。

（1） で $n$ を $n-1$ に置き換えると，$n\geqq 2$ に対して

$$ a_n=\frac{1}{a_n}-\frac{2}{a_{n-1}} $$

である。両辺を $2^n$ で割ると，

$$ \frac{a_n}{2^n} =\frac{1}{2^n a_n}-\frac{1}{2^{n-1}a_{n-1}} $$

となる。よって，

$$ \begin{aligned} S_N &=\frac{a_1}{2}+\sum_{n=2}^{N}\left(\frac{1}{2^n a_n}-\frac{1}{2^{n-1}a_{n-1}}\right) \\ &=\frac{a_1}{2}+\left(\frac{1}{2^N a_N}-\frac{1}{2a_1}\right). \end{aligned} $$

ここで

$$ a_1=\tan \frac{\pi}{4}=1 $$

だから，

$$ S_N=\frac{1}{2^N a_N} =\frac{1}{2^N\tan\left(\dfrac{\pi}{2^{N+1}}\right)}. $$

したがって，

$$ S_N =\frac{2}{\pi}\cdot \frac{\dfrac{\pi}{2^{N+1}}}{\tan\left(\dfrac{\pi}{2^{N+1}}\right)}. $$

ここで

$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 $$

より

$$ \lim_{N\to\infty}\frac{\dfrac{\pi}{2^{N+1}}}{\tan\left(\dfrac{\pi}{2^{N+1}}\right)}=1 $$

である。ゆえに，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\pi}{2^{n+1}} =\lim_{N\to\infty}S_N =\frac{2}{\pi}. $$

解説

この問題の要点は，$\tan \dfrac{\pi}{2^{n+1}}$ という形から倍角公式を使うことである。

（1） は単なる公式変形であるが，（2） ではその結果を

$$ \frac{a_n}{2^n} =\frac{1}{2^n a_n}-\frac{1}{2^{n-1}a_{n-1}} $$

という差の形に直すことが重要である。こうすると和が階差型になり，大部分が打ち消し合う。最後は $\tan x\sim x\ (x\to 0)$ を用いて極限を求めればよい。

答え

**(1)**

$$ a_{n+1}=\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{2}{a_n} $$

**(2)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\tan\frac{\pi}{2^{n+1}} =\frac{2}{\pi} $$