解説

方針・初手

与えられた漸化式をそのまま追うより、$x_n+y_n$ と $x_n-y_n$ に注目すると変化のしかたが簡単になる。

実際、和は保存され、差は一定の比で縮む形になるので、そこから $(x_n,y_n)$ の極限を求める。

解法1

まず、和 $s_n=x_n+y_n$ を考える。

すると、与式より

$$ \begin{aligned} s_{n+1} &=x_{n+1}+y_{n+1} \\ &=\left(\frac23 x_n+\frac13 y_n\right)+\left(\frac13 x_n+\frac23 y_n\right) \\ &=x_n+y_n \\ &=s_n \end{aligned} $$

となる。したがって $s_n$ は一定であり、

$$ s_n=s_0=x_0+y_0 $$

である。

次に、差 $d_n=x_n-y_n$ を考える。

与式より

$$ \begin{aligned} d_{n+1} &=x_{n+1}-y_{n+1} \\ &=\left(\frac23 x_n+\frac13 y_n\right)-\left(\frac13 x_n+\frac23 y_n\right) \\ &=\frac13 x_n-\frac13 y_n \\ &=\frac13 (x_n-y_n) \\ &=\frac13 d_n \end{aligned} $$

となる。よって $d_n$ は等比数列であり、

$$ d_n=\left(\frac13\right)^n d_0=\left(\frac13\right)^n(x_0-y_0) $$

である。

ここで

$$ x_n=\frac{s_n+d_n}{2},\qquad y_n=\frac{s_n-d_n}{2} $$

だから、

$$ x_n=\frac{1}{2}\left\{(x_0+y_0)+\left(\frac13\right)^n(x_0-y_0)\right\}, $$

$$ y_n=\frac{1}{2}\left\{(x_0+y_0)-\left(\frac13\right)^n(x_0-y_0)\right\} $$

となる。

$n\to\infty$ のとき $\left(\frac13\right)^n\to0$ であるから、

$$ x_n\to \frac{x_0+y_0}{2},\qquad y_n\to \frac{x_0+y_0}{2} $$

となる。

したがって、点 $P_n$ は直線 $y=x$ 上の点

$$ \left(\frac{x_0+y_0}{2},\ \frac{x_0+y_0}{2}\right) $$

に近づく。

解説

この問題の本質は、座標そのものを追うのではなく、和と差に分解することである。

• $x_n+y_n$ は不変である。
• $x_n-y_n$ は毎回 $\frac13$ 倍される。

したがって、2点の「平均」は保たれたまま、$x_n$ と $y_n$ のずれだけが 0 に近づく。 その結果、極限では $x=y$ となり、しかも和は $x_0+y_0$ のままなので、両座標はその半分になる。

答え

点 $P_n$ は

$$ \left(\frac{x_0+y_0}{2},\ \frac{x_0+y_0}{2}\right) $$

に近づく。