解説

方針・初手

与えられた漸化式は $a_n>0$ であることを用いて対数をとると一次の関係式に直せる。しかも $b_n=\log a_{n+1}-\log a_n$ と定められているので、$\log a_n$ の差に着目すれば $b_n$ は等比数列になる。まず漸化式を対数化し、$b_n$ の漸化式を作るのが初手である。

解法1

**(1)**

$b_1$ を求める。

定義より

$$ b_1=\log a_2-\log a_1 $$

である。ここで $a_1=1,\ a_2=\sqrt{e}$ だから

$$ b_1=\log \sqrt{e}-\log 1=\frac12-0=\frac12 $$

となる。

（2） 数列 ${b_n}$ の満たす漸化式を求める。

与えられた関係式

$$ (a_{n+2})^4a_n=(a_{n+1})^5 $$

の両辺の対数をとると

$$ 4\log a_{n+2}+\log a_n=5\log a_{n+1} $$

である。これを整理すると

$$ 4(\log a_{n+2}-\log a_{n+1})=\log a_{n+1}-\log a_n $$

となるので、$b_n=\log a_{n+1}-\log a_n$ を用いれば

$$ 4b_{n+1}=b_n $$

すなわち

$$ b_{n+1}=\frac14 b_n $$

を得る。

（3） 数列 ${b_n}$ の一般項を求める。

（2） より ${b_n}$ は初項 $\dfrac12$、公比 $\dfrac14$ の等比数列である。したがって

$$ b_n=\frac12\left(\frac14\right)^{n-1} $$

である。

（4） 数列 ${a_n}$ の一般項と $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n$ を求める。

$b_n=\log a_{n+1}-\log a_n$ であるから、

$$ \log a_n=\log a_1+\sum_{k=1}^{n-1}b_k $$

である。$\log a_1=\log 1=0$ なので、

$$ \log a_n=\sum_{k=1}^{n-1}\frac12\left(\frac14\right)^{k-1} $$

となる。右辺は等比数列の和であるから

$$ \log a_n =\frac12\cdot \frac{1-\left(\frac14\right)^{n-1}}{1-\frac14} =\frac12\cdot \frac{1-\left(\frac14\right)^{n-1}}{\frac34} =\frac23\left(1-\left(\frac14\right)^{n-1}\right) $$

よって

$$ a_n=e^{\frac23\left(1-\left(\frac14\right)^{n-1}\right)} $$

である。

さらに $n\to\infty$ のとき $\left(\dfrac14\right)^{n-1}\to 0$ だから

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e^{\frac23} $$

となる。

解説

この問題の本質は、与えられた積の形の漸化式をそのまま扱わず、対数をとって差の形に直すことである。$b_n=\log a_{n+1}-\log a_n$ という定義は、まさにそのために与えられている。

対数化すると $\log a_n$ 自体は二階の関係式を満たすが、差をとることで $b_n$ は一次の等比型漸化式に落ちる。そこからは $b_n$ を求め、最後に和をとって $\log a_n$、さらに $a_n$ へ戻す流れになる。漸化式で対数の差が定義されたときは、等比数列化を疑うのが典型である。

答え

**(1)**

$$ b_1=\frac12 $$

**(2)**

$$ 4b_{n+1}=b_n \qquad \left( \text{すなわち } b_{n+1}=\frac14 b_n \right) $$

**(3)**

$$ b_n=\frac12\left(\frac14\right)^{n-1} $$

**(4)**

$$ a_n=e^{\frac23\left(1-\left(\frac14\right)^{n-1}\right)} $$

また、

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=e^{\frac23} $$