解説

方針・初手

まず漸化式

$$ a_{n+1}=\frac{n}{n+5}a_n $$

を順に掛け合わせて、$a_n$ の一般項を求める。

次に

$$ b_n=\frac{n+4}{4}a_n $$

を用いると、$b_n-b_{n+1}-a_n$ が簡単に計算できる。これが $0$ になることで

$$ a_n=b_n-b_{n+1} $$

が得られ、和 $S_n$ は望ましい形に変形できる。

解法1

（1） 数列 ${a_n}$ の一般項を求める。

漸化式を繰り返し用いると、

$$ a_n=a_1\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{3}{8}\cdots \frac{n-1}{n+4} $$

である。ここで $a_1=1$ なので、

$$ a_n=\prod_{k=1}^{n-1}\frac{k}{k+5} =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)}{6\cdot 7\cdot 8\cdots (n+4)} $$

となる。

分母を階乗で表すと、

$$ 6\cdot 7\cdot 8\cdots (n+4)=\frac{(n+4)!}{5!} $$

であるから、

$$ a_n=\frac{(n-1)!}{(n+4)!/5!} =\frac{5!(n-1)!}{(n+4)!} =\frac{120}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} $$

を得る。

**(2)**

$b_n-b_{n+1}-a_n$ を求める。

定義より

$$ b_n=\frac{n+4}{4}a_n $$

である。また、

$$ b_{n+1}=\frac{n+5}{4}a_{n+1} $$

であり、漸化式 $a_{n+1}=\dfrac{n}{n+5}a_n$ を代入すると、

$$ b_{n+1}=\frac{n+5}{4}\cdot \frac{n}{n+5}a_n=\frac{n}{4}a_n $$

となる。

したがって、

$$ b_n-b_{n+1}-a_n =\frac{n+4}{4}a_n-\frac{n}{4}a_n-a_n =\left(\frac{4}{4}-1\right)a_n =0 $$

である。

よって、

$$ a_n=b_n-b_{n+1} $$

も従う。

**(3)**

$S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n$ を $n$ を用いて表す。

（2） より

$$ a_k=b_k-b_{k+1} $$

であるから、

$$ S_n=\sum_{k=1}^n a_k =\sum_{k=1}^n (b_k-b_{k+1}) $$

となる。これは望ましく消去して、

$$ S_n=b_1-b_{n+1} $$

である。

まず

$$ b_1=\frac{1+4}{4}a_1=\frac{5}{4} $$

である。また、（1） の結果を用いると、

$$ b_n=\frac{n+4}{4}a_n =\frac{n+4}{4}\cdot \frac{120}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} =\frac{30}{n(n+1)(n+2)(n+3)} $$

であるから、

$$ b_{n+1}=\frac{30}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} $$

となる。

したがって、

$$ S_n=\frac{5}{4}-\frac{30}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} $$

である。

（4） 無限級数 $a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+\cdots$ の和を求める。

（3） の結果より、

$$ S_n=\frac{5}{4}-\frac{30}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} $$

であるから、$n\to \infty$ とすると第2項は $0$ に収束する。よって、

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{5}{4} $$

である。

解説

この問題の要点は、漸化式から一般項を直接求めることと、補助数列 ${b_n}$ を導入して和を階差形に直すことである。

${a_n}$ だけを見て和を求めようとすると扱いにくいが、$b_n=\dfrac{n+4}{4}a_n$ とおくと

$$ a_n=b_n-b_{n+1} $$

となり、和が telescoping する。したがって、（2） がこの問題全体の核になっている。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{120}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} $$

**(2)**

$$ b_n-b_{n+1}-a_n=0 $$

したがって

$$ a_n=b_n-b_{n+1} $$

**(3)**

$$ S_n=\frac{5}{4}-\frac{30}{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)} $$

**(4)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n=\frac{5}{4} $$